一校四题如东中学.doc

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1、一校四题：如东中学1．已知集合，，则A中方程的曲线与B中方程的曲线的交点个数是_____14____．2.已知函数，其中且.（1）讨论的单调性；(2)若恒成立，求实数范围；（3）若存在两个异号实根，，求证：解:(１)的定义域为.其导数①当时,在上增;②当时,在上增;在(0,+∞)上减.(２)当时,则取适当的数能使，比如取，能使,所以不合题意当时，令，问题化为求恒成立时的取值范围.由于在上,;在上,.的最小值为,所以只需即,(３)由于存在两个异号根，不仿设，因为,所以构造函数:()所以在上减.,则,于是,又,,由在上为减函数可知.即y3.如图，椭圆：（

2、）和圆：，已知圆将椭圆的长轴三等分，椭圆右焦点到右准线的距离为，椭圆的下顶点为，过坐标原点且与坐标轴不重合的任意直线与圆相交于点、．（1）求椭圆的方程；（2）若直线、分别与椭圆相交于另一个交点为点、.①求证：直线经过一定点；②试问：是否存在以为圆心，为半径的圆，使得直线和直线都与圆相交？若存在，请求出所有的值；若不存在，请说明理由。解：（1）依题意，，则，∴，又，∴，则，∴方程为（2）①由题意知直线的斜率存在且不为0，设直线的斜率为，则：，由得，用去代，得，方法1：，∴：，即，∴直线经过定点．方法2：作直线关于轴的对称直线，此时得到的点、关于轴对称，

3、则与相交于轴，可知定点在轴上，当时，，，此时直线经过轴上的点，∵∴，∴、、三点共线，即直线经过点，故直线经过定点．②由得或∴，则直线：，设，则，直线：，直线：，假设存在圆心为，半径为的圆，使得直线和直线都与圆相交，则由（）得对恒成立，则，由（）得，对恒成立，当时，不合题意；当时，，得，即，∴存在圆心，半径的圆，使得直线和直线都与圆相交，．解法二：圆，由上知过定点，故；又直线过原点，故，从而得．4.如图，在直三棱柱ABC-A1B2C3中，AB=AC=AA1=3a，BC=2a，D是BC的中点，E是AB中点，F是C1C上一点，且CF=2a.（1）求证：C1

4、E//平面ADF；（2）试在AA1上找一点G，使平面GEC1//平面ADF；（3）求三棱锥D-AB1F的体积.ABCA1B1C1EDF17．（13分）如图，某隧道设计为双向四车道，车道总宽20m，要求通行车辆限高5m，隧道全长2.5km，隧道的两侧是与地面垂直的墙，高度为3米，隧道上部拱线近似地看成半个椭圆。（1）若最大拱高h为6m，则隧道设计的拱宽是多少？（2）若要使隧道上方半椭圆部分的土方工程量最小，则应如何设计拱高h和拱宽？（已知：椭圆+=1的面积公式为S=，柱体体积为底面积乘以高。）（3）为了使隧道内部美观，要求在拱线上找两个点M、N，使它们

5、所在位置的高度恰好是限高5m，现以M、N以及椭圆的左、右顶点为支点，用合金钢板把隧道拱线部分连接封闭，形成一个梯形，若l=30m，梯形两腰所在侧面单位面积的钢板造价是梯形顶部单位面积钢板造价的倍，试确定M、N的位置以及的值，使总造价最少。17．（1）m；（2）当拱高为(+3)m、拱宽为20m时，隧道上方半椭圆部分的土方工程量最小;（3）,.【解析】试题分析：（1）先建立直角坐标系，找到对应椭圆方程再把b=h-3=3与点P坐标代入椭圆方程，即可求出隧道设计的拱宽l是多少；（2）转化为求半椭圆的面积最小值问题，对椭圆方程用基本不等式即可求出对应的半椭圆面

6、积以及满足要求的拱高h和拱宽l．（3）先求出总造价的表达式，再利用导函数研究其最值即可．试题解析：解：（1）如下图建立直角坐标系，则点P（10，2），椭圆方程为+=1，将b=h－3=3与点P坐标代入椭圆方程，得a=，l=2a=，隧道的拱宽约为m。5分（2）要使隧道上方半椭圆部分的土方工程量最小，由柱体的体积公式可知：只需半椭圆的面积最小即可。由椭圆方程+=1，得+=1。因为+≥，即ab≥40，…8分所以半椭圆面积S=≥。当S取最小值时，有==，得a=10，b=，此时l=2a=20，h=b+3=+3，故当拱高为(+3)m、拱宽为20m时，隧道上方半椭圆

7、部分的土方工程量最小13分（3）设，设=+·=2（10），则令得或17（舍）∴时，取最小值，此时,代入椭圆方程得∴…13分考点：1.圆与圆锥曲线的综合；2.利用导数求闭区间上函数的最值．