2014一校4题(南通中学).doc

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1、江苏省南通中学试题1．已知椭圆C：的左右焦点分别为，点P为椭圆C上的任意一点，若以三点为顶点的等腰三角形一定不可能为钝角三角形，则椭圆C的离心率的取值范围是．解析：因为点P的横坐标x0一定满足，且当点P在短轴顶点时，一定为锐角或直角，所以，所以离心率的取值范围是．知识点：椭圆的定义与离心率；难度：0.4．2．在三棱锥P-ABC中，面PAB、PAC、PBC两两垂直，且．（1）求证：；PABC（2）求点P到面ABC的距离．（1）证明：在三角形PBC内过边BC上一点D作两条直线DE、DF分别垂直于边PB

2、、PC，则因为面PAB⊥面PBC，面PAB∩面PBC=PB，DE面PBC，DE⊥PB，所以DE⊥面PAB，因为PA面PAB，所以DE⊥PA．同理，DF⊥PA．又因为DE∩DF=D，DE，DF面PBC，所以PA⊥面PBC，因为BC面PBC，所以；（2）解：由（1）可知，PA、PB、PC两两垂直，所以，PABCDEF则三角形ABC中，，所以，三角形ABC的面积为，因为三棱锥P-ABC的体积为，所以．本题还可以作出高PH求解．知识点：直线、平面间的平行垂直，棱锥的体积公式；难度：0.6．3．设函数．（1

3、）试确定和的单调区间及相应区间上的单调性；（2）说明方程是否有解；（3）对，指出关于x的方程的解的个数，并证明相关结论．解：（1）①因为，所以，因此为R上的单调减函数．②因为，所以，+-↘↗所以，在上为单调减函数，在上为单调增函数；（2）由（1）可知，，所以无解；（3）猜想为偶数时，无解；为奇数时，有唯一解．证明如下：①当为偶数时，设，则在上为单调减函数，在上为单调增函数，所以当为偶数时无解；②当n为奇数时，设；所以为减函数，而，，所以方程有唯一解（在区间上）．知识点：导数在研究函数上的应用，函数

4、与方程；难度：0.7．4．设数列满足，，且满足，求二阶矩阵M．解：由题意可知，设矩阵，因为，所以，所以．知识点：矩阵与变换，矩阵的乘法；难度：0.9．