2015届江苏高考数学南通一校四题.doc

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1、江苏省南通中学试题1．已知椭圆C：的左右焦点分别为，点P为椭圆C上的任意一点，若以三点为顶点的等腰三角形一定不可能为钝角三角形，则椭圆C的离心率的取值范围是．解析：因为点P的横坐标x0一定满足，且当点P在短轴顶点时，一定为锐角或直角，所以，所以离心率的取值范围是．知识点：椭圆的定义与离心率；PABC难度：0.4．2．在三棱锥P-ABC中，面PAB、PAC、PBC两两垂直，且．（1）求证：；（2）求点P到面ABC的距离．（1）证明：在三角形PBC内过边BC上一点D作两条直线DE、DF分别垂直于边PB、PC，则因为面PAB⊥面PBC，面PAB∩面PBC=PB

2、，DE面PBC，DE⊥PB，所以DE⊥面PAB，因为PA面PAB，所以DE⊥PA．同理，DF⊥PA．又因为DE∩DF=D，DE，DF面PBC，所以PA⊥面PBC，因为BC面PBC，所以；（2）解：由（1）可知，PA、PB、PC两两垂直，所以，PABCDEF则三角形ABC中，，所以，三角形ABC的面积为，因为三棱锥P-ABC的体积为，所以．本题还可以作出高PH求解．知识点：直线、平面间的平行垂直，棱锥的体积公式；难度：0.6．3．设函数．（1）试确定和的单调区间及相应区间上的单调性；（2）说明方程是否有解；（3）对，指出关于x的方程的解的个数，并证明相关结

3、论．解：（1）①因为，所以，因此为R上的单调减函数．②因为，所以，+-↘↗所以，在上为单调减函数，在上为单调增函数；（2）由（1）可知，，所以无解；（3）猜想为偶数时，无解；为奇数时，有唯一解．证明如下：①当为偶数时，设，则在上为单调减函数，在上为单调增函数，所以当为偶数时无解；②当n为奇数时，设；所以为减函数，而，，所以方程有唯一解（在区间上）．知识点：导数在研究函数上的应用，函数与方程；难度：0.7．4．设数列满足，，且满足，求二阶矩阵M．解：由题意可知，设矩阵，因为，所以，所以．知识点：矩阵与变换，矩阵的乘法；难度：0.9．海门市三厂中学1.已知函

4、数f(x)=x3+x2+ax+2，xÎ[1,2]的图像上存在两点，在这两点处的切线互相垂直，则a的取值范围为___________.解：f’(x)=x2+x+a在xÎ[1,2]上递增，则f’(x)Î[a+2,a+6],依题意有：(a+2)(a+6)≤-1,解得：-4-Error!Nobookmarknamegiven.≤x≤-4+2.已知椭圆的左右焦点分别为、，短轴两个端点为、，且四边形是边长为2的正方形.（I）求椭圆方程；（Ⅱ）若分别是椭圆长轴的左右端点，动点满足，连接，交椭圆于点，证明：为定值；（III）在（Ⅱ）的条件下，试问轴上是否存在异于点的定点

5、，使得以为直径的圆恒过直线的交点？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由.解：（I），，椭圆方程为,………4分（Ⅱ），设，则,直线：，即，代入椭圆得,，，，（定值）,………10分（III）设存在满足条件，则,,………14分3.已知函数，（）（Ⅰ）对于函数中的任意实数x，在上总存在实数，使得成立，求实数的取值范围（Ⅱ）设函数，当在区间内变化时，（1）求函数的取值范围；（2）若函数有零点，求实数m的最大值.解：（Ⅰ）原命题，先求函数的最小值，得.当时，；当时，，故当时，取得极（最）小值，其最小值为；而函数的最小值为m,故当时，结论成立（Ⅱ）（1）：由，

6、可得，把这个函数看成是关于的一次函数，（1）当时，，因为，故的值在区间上变化，令，，则，在为增函数，故在最小值为，又令，同样可求得在的最大值，所以函数在的值域为[-2，-1]（Ⅱ）（2）当时，的最大值，故对任意，在均为单调递减函数，所以函数当时，因为，，故的值在区间上变化，此时，对于函数，存在，在单调递减，在单调递增，所以，在的最大值为，因为，，所以，故的最大值是，又因为，故当函数有零点时，实数m的最大值是.4.设函数，，已知与有且仅有一个公共点．(1)求m的值；(2)对于函数，若存在a，b，使得关于的不等式对于定义域上的任意实数恒成立，求a的最小值以及

7、对应的的解析式．（1）令，即，可得，设，则，令，得．当时，，递增；当时，，递减．考虑到时，，时，；时，．考虑到，故，因此．………………………………4分（2）由（1）知，．，可知．………………………………6分（ⅰ）由对恒成立，即对恒成立，所以，解得①．……………………8分（ⅱ）由对恒成立，即对恒成立，设，，则，令，得．当时，，递增；当时，，递减．故，则须，即得②．由①②得③．……………………10分存在a，b，使得③成立的充要条件是：不等式④有解．……………………12分不等式④可化为，即，令，则有，设，则，可知在上递增，上递减．又，，，所以在区间内存在一个零

8、点，故不等式的解为，即，得．因此a的最小值为2，代入③得，故，对应的的解析式为．