天津科技大学李伟版高等数学第二章习题及答案.doc

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1、习题2—1（A）1．下列论述是否正确，并对你的回答说明理由：（1）函数的导数是函数的平均变化率在自变量的增量趋于零时的极限；（2）求分段函数在分界点处的导数时，一般利用左、右导数的定义分别求该点处的左、右导数．如果二者存在且相等，则在这一点处的导数就存在，且等于左、右导数，否则函数在这点不可导；（3）在点可导的充分必要条件是在点的左、右导数都存在；（4）函数在点连续是它在点可导的充分必要条件.答：（1）正确．根据导数的定义．（2）正确．一般情况下是这样，但是若已知连续时，也可以用（即导函数的左极限），（即导函数的右极限）求

2、左右导数．（3）不正确．应是左、右导数都存在且相等．（4）不正确．在点连续仅是在可导的必要条件，而不是充分条件，如都在点连续，但是它们在点都不可导．2．设函数，用导数定义求它在点处的导数.解：．3．设函数，用定义求它在点处的导数．解：．4．用定义求函数在任意一点()处的导数．解：．5．对函数，分别求出满足下列条件的点：（1）；（2）．解：，（1）由，有，得；（2）由，有，得．6．已知某物体的运动规律为，求时刻时物体的运动速度，及加速度．解：速度为，加速度为．7．求曲线在点处的切线方程与法线方程．解：切线斜率，切线方程为：，

3、即；法线方程为：，即．8．若函数可导，求下列极限：（1）；（2）（其中）；（3）；（4）．解：（1）．（2）．（3）．（4）．9．讨论下列函数在指定点的连续性和可导性：（1），在点；（2）在点；（3）在点．解：（1）是初等函数，且在的邻域内有定义，因此在点连续，因为（极限不存在），所以在点不可导．（2）因为，所以在点可导，且，从而也连续．（3）因为，有，所以，在点连续，又，由，所以，在点不可导．10．设函数求．解：因为，所以e．11．设函数求．解：当时，，当时，，当时，由，于是函数在点不可导，所以习题2—1（B）1．有一非

4、均匀细杆长为20cm，为上一点，又知的质量与从点到点的距离平方成正比，当为2cm时质量为8g，求：(1)为2cm时，这段杆的平均线密度；（2）全杆的平均线密度；（3）求点处的密度．解：设cm，则杆的质量为g，由时,，得，所以，，g/cm．（1）为2cm时，这段杆的平均线密度为4g/cm．（2）全杆的平均线密度为40g/cm．（3）点处的密度为g/cm．2．求的值，使函数在点可导．解：首先函数要在点连续．而，，，由，得，此时．又，，由得．所以，当时，函数在点可导．3．讨论函数在点的可导性．解：，因为，所以函数在点不可导．4．

5、若函数可导，且为偶（奇）函数，证明为奇（偶）函数．证明：（1）若是偶函数，有，因为，所以是奇函数．（2）若是奇函数，有，因为，所以是偶函数．5．设非零函数在区间内有定义，在点可导，，且对任何实数，恒有.证明．证明：由，令，有，而，得．因为，所以函数可导，且．6．求曲线上的水平切线方程．解：，由，得，当时，，此时水平切线是，即；当时，，此时水平切线是，即．7．在抛物线上求与直线平行的切线方程．解：对，导函数为：，设切点为，则切线斜率为，而直线斜率为，根据已知，有，即，得，切点为，切线方程为：，即．8．已知曲线与曲线相切，求公

6、切线方程．解：设切点为，则两曲线在切点处的斜率分别为，.由两曲线在时相切，有得，即，此时，，，公切线斜率为，公切线方程为，化简得.习题2—2（A）1．下列论述是否正确，并对你的回答说明理由：（1）在自变量的增量比较小时，函数的微分可以近似刻画函数的增量，但是二者是不会相等的；（2）函数在一点处的微分仅与函数在这点处的导数有关；（3）函数在一点可微与在这点可导是等价的，在一点可微的函数在这点必然连续，但反过来不成立，即在一点连续的函数在这点未必可微．答：（1）前者正确，根据微分的定义；后者不正确，如对线性函数，恒有．（2）不

7、正确．因为，可见不仅与有关，还与自变量在该点的增量有关．（3）正确．这就是本章定理2.1与定理1.2所述．2．求下列函数在点处的微分：（1）；（2）（）；（3）（）；（4）．解：（1）因为，所以．（2）因为，所以，．（3）因为，所以，．（4）因为，所以．3．求下列函数在点处的微分：（1），；（2），．解：（1）因为，所以．（2）因为，所以．4．设函数，求当，时函数的微分．解：因为，所以．5．用函数的局部线性化计算下列数值的近似值：（1）；（2）；（3）．解：（1）取，，由，得．（2）取，，由，得．（3）取，当时，先证明，事

8、实上，取，则，由，得，利用，得．6．讨论下列函数在点的可微性：（1）；（2）；（3）解：（1）因为，则在点不可导，所以在不可微．（2）因为，则在点可导，所以在点可微．（3）因为，，得在点不可导，所以在点也不可微．习题2—2（B）1．已知单摆的振动周期，其中cm/s2是重力加速度，是摆长（单位：cm）．设