天津科技大学李伟版高等数学第三章习题解答

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1、习题3—1（A）1．判断下列叙述是否正确，并说明理由：（1）函数的极值与最值是不同的，最值一定是极值，但极值未必是最值；（2）函数的图形在极值点处一定存在着水平的切线；（3）连续函数的零点定理与罗尔定理都可以用来判断函数是否存在零点，二者没有差别；（4）虽然拉格朗日中值公式是一个等式，但将进行放大或缩小就可以用拉格朗日中值公式证明不等式，不过这类不等式中一定要含（或隐含）有某函数的两个值的差．答：（1）不正确．最值可以在区间端点取得，但是由于在区间端点处不定义极值，因此最值不一定是极值；而极值未

2、必是最值这是显然的．（2）不正确．例如在点处取极值，但是曲线在点却没有水平切线．（3）不正确．前者是判断是否有零点的，后者是判断是否有零点的．（4）正确．一类是明显含有的；另一类是暗含着的．2．验证函数在区间上满足罗尔定理，并求出定理中的．解：显然在闭区间上连续，在开区间内可导，且，于是函数在区间上满足罗尔定理的条件，，由，有，得，，所以定理的结论也成立．3．验证函数在区间上满足拉格朗日中值定理，并求出公式中的．解：显然在闭区间连续，在开区间内可导，于是函数在区间上满足拉格朗日中值定理的条件，，

3、，由，有，得，，所以定理的结论也成立．4．对函数、在区间上验证柯西中值定理的正确性，并求出定理中的．解：显然函数、在闭区间上连续，在开区间内可导，且，，在区间内，于是函数、在区间上满足柯西定理的条件，又，由，有，即，由于，得，所以定理的结论也成立．5．在内证明恒为常数，并验证．证明：设，显然在内可导，且，由拉格朗日定理的推论，得在内恒为常数，设，用代入，得，所以．6．不求出函数的导数，说明有几个实根，并指出所在区间．解：显然有三个零点，用这三点作两个区间，在闭区间上连续，在开区间内可导，又于是在

4、满足罗尔定理，所以至少有，使得，同理至少有，使得，所以至少有两个实根．又因为是三次多项式，有时二次多项式，于是是二次代数方程，由代数基本定理，得至多有两个实根．综上，恰有两个实根，且分别位于区间与内．7．证明下列不等式：（1）对任何实数，证明；（2）当时，．证明：（1）当时，显然成立．当时，取函数，显然在闭区间上连续，在开间内可导，由拉格朗日定理，有，使得，即，所以．当时，只要将上面的区间换为，不等式依然成立．所以，对任何实数，都有．（2）取函数，当时，函数在闭区间上连续，在开区间内可导，根据拉

5、格朗日定理，有，使得．因为，则，所以．8．若函数在区间具有二阶导数，且，其中，证明在区间内至少有一点，使得．证明：根据已知，函数在区间及上满足罗尔定理，于是有，（其中），所得，．再根据已知及，函数在区间上满足罗尔定理，所以有，所得，即在区间内至少有一点，使得．习题3—1（B）1．在2004年北京国际马拉松比赛中，我国运动员以2小时19分26秒的成绩夺得了女子组冠军．试用微分中值定理说明她在比赛中至少有两个时刻的速度恰好为18.157km/h（马拉松比赛距离全长为42.195km）．解：设该运动员

6、在时刻时跑了（km），此刻才速度为（km/h），为解决问题的需要，假定有连续导数．设起跑时，到达终点时，则，对函数在区间上用拉格朗日定理，有，所得，而km/h，所以．对在区间及上分别使用连续函数的介值定理（注意，则数值18.157分别介于两个区间端点处函数值之间），于是有，，使得，，这表明该运动员在比赛中至少有两个时刻的速度恰好为18.157km/h．2．若函数在闭区间上连续，在开区间内可导，且，证明方程在开区间内至多有一个实根．证明：采用反证法，若方程在开区间有两个（或两个以上）不同的实根，即

7、，根据已知函数在上满足罗尔定理，于是有，使得，与在开区间内矛盾，所以方程在开区间内至多有一个实根．（注：本题结论也适用于无穷区间）3．证明方程只有一个正根．证明：设（），则，根据上题结果，方程在内至多有一个实根．取闭区间，函数在上连续，且，，由零点定理，有，使得，从而方程在内至少有一个实根．综上，方程只有一个正根，且位于区间内．4．若在内恒有，证明．证明：（方法1）设函数，则，根据拉格朗日定理的推论恒为常数，设，用代入，得，记，则，所以．（方法2）记，，若，则满足；若，对函数以为端点的闭区间上用

8、拉格朗日定理，则有介于与之间，使得，即，所以．5．若函数在区间可导，且满足，，证明.证明：设函数（），则，由，得，根据拉格朗日定理的推论恒为常数，设，用代入，且由，得，所以，即．6．证明下列不等式（1）当时，证明；（2）对任何实数，证明．证明：（1）取函数（）显然函数在区间上满足拉格朗日定理，则有，使得，即，所以．（2）当时，显然．当时，取函数，对在以为端点的闭区间上用拉格朗日定理，则有介于与之间，使得，即，所以．综上，对任何实数，都有．7．若函数在闭区间[，]上连续，在开区间（，）内可导，（其