天津科技大学李伟版高等数学第五章定积分习题解答

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1、习题5—1(A)1．判断下列叙述是否正确？并说明理由：（1）如果函数仅在区间上有界，它在上未必可积，要使其可积，它在上必须连续；（2）如果积分（）存在，那么；（3）性质5也常称为积分不等式，利用它（包括推论）结合第三章的有关知识，可以估计积分的值、判定积分的符号，也可证明关于定积分的某些不等式；（4）定积分的中值定理是一个非常重要的定理，利用它能去掉积分号，同时该“中值”还是被积函数在积分区间上的平均值.答：（1）前者正确．如狄利克雷函数在区间（其中）上有界，但是它在区间上不可积，事实上：将任意分成个小区间，（其中）记第个小区间长度为，先在上取为有理数，则，再在上取

2、为无理数，则，对于的不同取法黎曼和的极限不同，所以在区间上不可积；后者不正确，参见定理1.2．（2）正确．事实上：由于在区间上可积，则对的任意分法，的任意取法，都有，现在对区间等分，去在小区间的右分点，则，，并且等价于，所以．（3）正确．它是证明关于定积分不等式的基础，参见例题1.3、1.4、1.5等．（4）正确．它可以起到去掉积分号的作用；也可以用来表示连续函数在区间上的平均值，但是由于位置不好确定，一般不用它来计算平均值，而是直接计算.2．自由落体下落的速度，用定积分表示前10秒物体下落的距离.解：根据定积分引入的实例，变速直线运动的路程，所以．3．一物体在力作

3、用下，沿轴从点移动到点，用定积分表示力所做的功.解：将位移区间任意分成个小区间，（其中）记第个小区间长度为，在上任取一点，用近似代替物体从移动到时所受的力，则物体从移动到时所做的功近似为，于是，记，则（假定极限存在）.4．用定积分的几何意义求下列积分值：（1）；（2）.解：（1）如图，上半圆的面积，根据定积分几何意义，所以，．（2）如图，面积，，根据定积分几何意义，所以，．5．若函数在区间上连续，用定积分的几何意义说明：（1）当为奇函数时，；（2）当为偶函数时，.解：（1）如图1，当是奇函数时，由对称性，面积，根据定积分几何意义，.（2）如图2，当是偶函数时，由对称

4、性，面积，根据定积分几何意义，.6．比较下列各组定积分的大小：（1）与；（2）与；（3）与；（4）与.解：（1）因为在区间上，所以，即．（2）因为在区间上，所以，即．（3）因为在区间上，所以，即．（4）因为在区间上，所以，即．7．估计下列定积分的值：（1）；（2）；（3）；（4）.解：（1）设，在区间上显然有，又，于是函数在区间上的最小值为，最大值，而区间长度，根据，得．（2）设，由于函数在区间上单调增加，于是在区间上的最小值为，最大值，而区间长度，根据，得．（3）设，则，在区间上，于是函数在区间上单调减少，所以在区间上的最小值为，最大值，而区间长度，根据，得．（4

5、）设，则，有，在区间内得驻点，又，所以函数在区间上的最小值为，最大值，而区间长度，根据，得．8．证明下列不等式：（1）；（2）.证明：（1）在区间上显然有，所以.（2）设，在区间上，，于是函数在区间上单调增加，从而，即在区间上，所以.习题5—1(B)1．右图给出了做直线运动的某质点在0到9s内的速度图象，求它在这段时间间隔内所走的路程.解：质点在0到9s内所走的有效路程为阴影面积的代数和，即（单位）；质点在0到9s内所实际走的路程为阴影面积的和，即（单位）2．用定积分中值定理求下列极限：（1）；（2）．解：（1）由定积分中值定理，（其中），于是．（2）由定积分中值定

6、理，（其中），由，有等价于，于是．3．若函数在区间（）上连续，，且不恒等于，证明．证明：设，由题目条件知，在区间上函数连续且又不恒等于零，于是有，使得，由连续函数的性质，，在区间内恒有，设区间（），所以，即，再由定积分的线性性，得．4．证明下列不等式：（1）；（2）（其中是正整数）.证明：（1）设，则，由，在区间内得驻点，又，于是函数在区间的最小值为，最大值为，从而，因为，所以．（2）在区间上显然有，且等号不恒成立，而函数、都连续，根据本节习题（B）3，有，而由定积分的几何意义得，，所以．习题5—2(A)1．判断下列叙述是否正确？并说明理由：（1）在定理2.1的证明

7、中，被积函数连续的条件是不可缺少的；（2）若连续、可导，则的导数等于被积函数在上限处的值；（3）在连续、及可导时，通过将化成两个变上限定积分，可求得；（4）使用牛顿—莱布尼兹公式计算定积分，首先要找到被积函数在积分区间上的一个原函数，然后求该原函数在积分区间上的增量．答：（1）正确．定理的证明中两次用到连续性，一次是使用定积分中值定理时，再一次是最后求极限时．（2）不正确．应该是，即被积函数在上限处的值与上限处函数的导数之积．（3）正确．将函数改写为，再根据（2）求导．（4）正确．这就是牛顿—莱布尼兹公式（其中是在区间上的一个原函数），但是要注意被积函数的连续性