天津科技大学李伟版高等数学习题解答（微分方程）

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1、习题6—1（A）1．判断下面的论述是否正确，并说明理由．（1）所谓阶微分方程，是说该微分方程中所含的最高阶导数的阶数是，并不管方程中是否还含有其它低一些阶的导数；（2）微分方程的通解是微分方程的含有任意常数的解，且任意常数的个数等于微分方程的阶数．一个微分方程的通解包含了该微分方程的所有解．（3）在阶微分方程的初值问题中，初始条件必须包含个条件方能由通解得到特解．答：（1）正确．微分方程阶的定义．（2）两者都不正确．前者需要独立任意常数的个数等于微分方程的阶数，如对于二阶微分方程，尽管是含有两个任意常数的解，但是它不是通解，因为它可以改写为（其中，

2、其中只有一个任意常数；后者如是微分方程的通解，但是它不包含解．（3）正确．因为每确定一个任意常数需要有一个条件．2．指出下列各微分方程的阶数：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）．答：（1）一阶．（2二阶．（3）三阶．（4）一阶．（5）四阶．（6）二阶．3．验证下列各函数是否为所给微分方程的解？如果是解，指出是通解，还是特解：（1）函数，微分方程；（2）函数，微分方程；（3）由确定的函数，微分方程；（4）函数（其中是给定的实数），微分方程．解：（1）因为，左式右式，所以函数不是微分方程解．（2）因为，即，所以函数是微分方程解，但是由于中只

3、有一个任意常数，又微分方程是二阶的，所以既不是微分方程的通解，也不是特解，只是解．（3）等式两边同时对求导，有，化简为，所以由确定的函数是的解，又中含有一个任意常数，所以是通解．（4）因为，当时，，又中不含任意常数，所以函数是微分方程特解；时，，所以所以函数不是微分方程解．4．在下列各题中，验证所给函数是微分方程的通解，并求满足初始条件的特解：（1）函数，微分方程，初始条件；（2）函数，微分方程，初始条件，．解：（1）因为，且中含有一个任意常数，所以函数是微分方程的通解；由，有，即，满足初始条件的特解是．（2）因为，，得，且函数中含有两个独立的任意

4、常数，所以是微分方程，的通解；由初始条件，，有得，，所以微分方程满足初始条件，的特解是．5．写出由下列条件确定的曲线所满足的微分方程：（1）曲线在点处的切线斜率等与该点横之比等于该点纵坐标的平方；（2）曲线在点处的法线与的交点为，且线段被轴平分．解：（1）由已知，有，得．（2）（方法1）用表示法线上的点，则法线方程为，根据已知，法线过点（如图），用、代入，得，即．（方法2）如图，，而，得，即（注：点在其他象限，结果相同）．6．已知某种群的增长速度与当时该种群的数量成正比，如果在时刻，该种群有数量，写出时刻时，该种群数量所满足的微分方程，并给出初始条

5、件．解：时刻时种群的增长速度为，由于种群的增长速度与当时该种群的数量成正比，得（其中为比例系数），这就是要建立的微分方程；初始条件．习题6—1（B）1．试写出以原点为圆心的曲线族所满足的微分方程．解：微分方程的通解为（其中是任意常数），两边同时对求导，得，即，这就是要建立的微分方程．2．给定微分方程，（1）求过点的积分曲线；（2）求出与直线相切的曲线方程．解：由，得通解为．（1）由曲线过点，有，得，所求曲线为．（2）由曲线与直线相切，有（斜率相等），得．当时，，代入，有，得，所求曲线为；当时，，代入，有，得，所求曲线为．3．设处处连续的非零函数满足

6、，且，写出所满足的微分方程，并求函数．解：将代入，有，由于，得，根据导数定义，．所以所满足的微分方程，初始条件为．由，有，两边求不定积分，有，得（根据条件有），即．由，得，所以．4．将积分方程（其中）转化为微分方程，给出初始条件，并求函数（其中是连续函数）．解：将同时对求导，有，即，这就是所要的微分方程．用代入到之中，有，得初始条件为．通解为，由，有，得，所求函数为．（注：积分方程求解，一般都是通过求导转化为微分方程，并且多数情况下可以确定处初始条件）习题6—2（A）1．判断下面的论述是否正确，并说明理由．（1）在本节所介绍的一阶微分方程的解法中，

7、分离变量法是基本方法，解齐次方程和一阶线性方程等时，都要先化为可分离变量的方程；（2）我们所讨论的微分方程中的导数都是以的形式出现的，如果是的形式，我们不予考虑，因此所谓齐次方程都是指的形式，而不是齐次方程；（3）解一阶线性微分方程一般可以分为两步：首先利用分离变量法求出相应的齐次线性方程的通解，然后将通解中的任意常数用的函数取代，代人到原非齐次线性微分方程中，求出，从而求得原方程通解．答：（1）正确．对齐次方程，令（或）可以化为可分离变量方程；对一阶线性方程，在用“常数变易法”时，先求相应齐次线性方程，它本身就是可分离变量方程．（2）不正确．在微

8、分方程中，变量的地位是同等的，通常是以为自变量，为因变量．但是有时为了求解简单，也可以以为自变量，为因变量．所以方程也是齐