天津科技大学李伟版高等数学第一章习题答案

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1、习题1—1（A）1．判断下列论述是否正确？并说明理由：（1）有理数集是实数集的子集，但不能说实数集是实数集的子集，因为一个集合的子集所含的元素一定比该集合所含的元素“少”；(2)由于函数的图像与其反函数的图像是同一条曲线，因此这两个函数实际是同一个函数；(3)若将函数复合为复合函数函数的值域必须为函数的定义域；(4)函数在点集上有界的充分必要条件是它在上有最大值与最小值；(5)过函数定义域内的任意一点做轴的垂线，该垂线与函数的图形必交于且只交于一点；(6)函数是其定义域内无界函数．答：（1）不正确．集合本身也

2、是其子集．（2）不正确．如与是不同的函数，前者是指数函数，后者是对数函数．（3）不正确．如，复合为，函数的值域为全体实数，而函数的定义域为全体正实数．（4）不正确．在上有最大值与最小值是在上有界的充分条件，不是必要条件，如在内有界，但是没有最大值与最小值．（5）正确．函数定义决定的．（6）正确．事实上，，取，．2．若集合，用区间表示集合．解：由，或，得，所以；由得或，所以；由，及，得或，所以．3．若函数，求．解：．4．设函数求．解：因为在范围内，所以；因为在范围内，所以；因为在范围内，所以；因为在范围内，所以

3、．5．若函数的定义域为，求函数的定义域．解：由，得的定义域为；由，有；得的定义域为；由，有得的定义域为．6．下列各题中，各对函数是否为同一函数？为什么？（1）与；（2）与；（3）与；（4）与．答：（1）是，（）．（2）不是，前者定义域为，后者定义域为．（3）不是，前者定义域为，后者定义域为全体实数．（4）不是，前者在时，前者对应法则为，后者为．7．若所涉及的函数都在内有定义，证明（1）两个偶函数之和是偶函数，两个奇函数之和是奇函数；（2）两个偶（奇）函数之积是偶函数，一个偶函数与一个奇函数之积是奇函数．证明：

4、设分别是定义在的偶函数；分别是定义在的奇函数．（1）设；，，所以是偶函数；，所以是奇函数．（2）设，，所以是偶函数；，所以是奇函数．8．判断下列函数的奇偶性：（1）；（2）；（3）；（4）．答：（1）奇函数，由奇偶函数的四则运算性质．（2）偶函数，由复合函数运算性质，若是偶函数，则是偶函数．（3）奇函数，若在有定义，则一定是偶函数，一定是奇函数，本题属于后者．（4）奇函数，的定义域为，且．9．证明函数是内的奇函数．证明：因为，所以是内的奇函数．10．在下列函数中哪些是周期函数？如果是周期函数，指出其最小正周期

5、：（1）；（2）；（3）；（4）．答：（1）是，若得最小正周期是，则得最小正周期是，．（2）是，同上，，．（3）是，，．（4）不是，一个周期函数与一个非周期函数的和（差）一定是非周期函数．11．求下列函数的反函数：（1）；（2）；（3）；（4）．解：先反解的表达式，再将变量与互换．（1）由，得，反函数为．（2）由，得反函数为．（3）由，有，得反函数为．（4）由，得，因为，所以，反函数为．12．在下列各题中，写出由所给函数复合而得的复合函数：（1）；（2）；（3）；（4）．解：（1）将代入到中，得复合函数．（2

6、）将代入到中，得复合函数．（3）将代入到中，得复合函数．（4）将代入到中，得，将再代入到中，得复合函数．13．将下列复合函数分解为基本初等函数或基本初等函数的四则运算：（1）；；（2）；（3）；（4）．解：（1）．（2）．（3）．（4）．14．某厂生产的产品1000吨，定价为130元/t．当出售量不超过700吨时，按原定价出售；超过700吨的部分按原价的九折出售，试将销售收入表示成销售量的函数．解：设是销售量，是销售收入，当时，；当时，，所以15．某种品牌的电视机每台售价为1500元时，每月可销售2000台，

7、每台售价为1300元时，每月可多销售400台．试求该电视机的线性需求函数．解：设是销售量，是每台售价，由题意，有，将时，；时，代入，得，所以，．16．证明下列各等式：；证明：下面有代表性地证明部分等式（其余等式证明方法类似）：．．．17．将下列用直角坐标表示的曲线方程用极坐标表示：（1）；（2）．解：（1）将，代入到中，有，化简得：（）．（2）将，代入到中，有，化简得：（）．18．将下列用极坐标表示的曲线方程用直角坐标表示：（3）；（4）．解：（1）将代入到中，有，而，所以在直角坐标系下的方程为．（2）将代入

8、到中，有，即，所以在直角坐标系下的方程为（）．习题1—1（B）1．某铁路客运公司规定：普通旅客随身携带的行李重量不超过20kg时免费；50kg内超出20kg的部分按元/kg收费，50kg以上超重部分加倍收费．试写出客运公司关于普通旅客随身携带的行李重量的收费函数．解：设是收取费用，是携带行李重量；当时，；当，；当时，；所以，2．设，求．解：由，得；．3．求函数的反函数．解：当时，由，得（）；当时，有