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1、直线与圆锥曲线的位置关系一、知识整理：1.考点分析：此部分的解答题以直线与圆锥曲线相交占多数，并以椭圆、抛物线为载体较多。多数涉及求圆锥曲线的方程、求参数的取值范围等等。2．解答直线与圆锥曲线相交问题的一般步骤：设线、设点，联立、消元，韦达、代入、化简。第一步：讨论直线斜率的存在性，斜率存在时设直线的方程为y=kx+b（或斜率不为零时，设x=my+a）；第二步：设直线与圆锥曲线的两个交点为A(x1,y1)B(x2,y2);第三步：联立方程组，消去y得关于x的一元二次方程；第四步：由判别式和韦达定理列出直线与曲线相交满足的条件，第五步
2、：把所要解决的问题转化为x1+x2、x1x2，然后代入、化简。3．弦中点问题的特殊解法-----点差法：即若已知弦AB的中点为M(xo,yo)，先设两个交点为A(x1,y1)，B(x2,y2);分别代入圆锥曲线的方程，得，两式相减、分解因式，再将代入其中，即可求出直线的斜率。4.弦长公式:(k为弦AB所在直线的斜率)二、例题分析：例1．(2008湖北文)已知双曲线的两个焦点为,点在曲线C上.(Ⅰ)求双曲线C的方程；(Ⅱ)记O为坐标原点，过点Q(0,2)的直线l与双曲线C相交于不同的两点E、F，若△OEF的面积为求直线l的方程例2．.
3、(2005湖北文、理)设A、B是椭圆上的两点，点N（1,3）是线段AB的中点,线段AB的垂直平分线与椭圆相交于C、D两点.（Ⅰ）确定的取值范围，并求直线AB的方程；(Ⅱ)试判断是否存在这样的，使得A、B、C、D四点在同一个圆上？并说明理由.（只做第一问）例3.(2007重庆文)如图,倾斜角为α的直线经过抛物线的焦点F，且与抛物线交于A、B两点.（Ⅰ）求抛物线的焦点F的坐标及准线l的方程；(Ⅱ)若α为锐角,作线段AB的垂直平分线m交x轴于点P,证明
4、FP
5、-
6、FP
7、cos2α为定值,并求此定值.三、基础训练：1．（2005广东）在平面
8、直角坐标系xOy中，抛物线y=x2上异于坐标原点O的两不同动点A、B满足AO⊥BO（如图4所示）.△AOB的面积是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由.2.(2008广东文、理)设b>0，椭圆方程为，抛物线方程为.如图4所示,过点F(0,b+2)作x轴的平行线，与抛物线在第一象限的交点为G.已知抛物线在点G的切线经过椭圆的右焦点.(1)求满足条件的椭圆方程和抛物线方程;(2)设A,B分别是椭圆长轴的左、右端点，试探究在抛物线上是否存在点P，使得△ABP为直角三角形？若存在，请指出共有几个这样的点？并说明理由（不必
9、具体求出这些点的坐标）.四．巩固练习：1.(2007广东文、理)在平面直角坐标系xOy巾，已知圆心在第二象限、半径为的圆C与直线相切于坐标原点0．椭圆与圆c的一个交点到椭圆两焦点的距离之和为10．(1)求圆C的方程；(2)试探究圆C上是否存在异于原点的点Q，使Q到椭圆右焦点F的距离等于线段OF的长．若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由.2.（2007四川理）设、分别是椭圆的左、右焦点.（Ⅰ）若是该椭圆上的一个动点，求·的最大值和最小值;（Ⅱ）设过定点的直线与椭圆交于不同的两点、，且∠为锐角（其中为坐标原点），求直线的斜率的
10、取值范围.直线与圆锥曲线的位置关系（参考答案）二、例题分析：例1．(Ⅰ)解法1：依题意，由a2+b2=4，得双曲线方程为（0＜a2＜4），将点（3，）代入上式，得.解得a2=18（舍去）或a2＝2，故所求双曲线方程为解法2：依题意得，双曲线的半焦距c=2.2a=
11、PF1
12、－
13、PF2
14、=∴a2=2，b2=c2－a2=2.∴双曲线C的方程为(Ⅱ)解：依题意，可设直线l的方程为y=kx+2，代入双曲线C的方程并整理，得(1－k2)x2－4kx－6=0.∵直线I与双曲线C相交于不同的两点E、F,∴∴k∈(－)∪(1,).设E(x1,y1),
15、F(x2,y2)，则由①式得x1+x2=于是
16、EF
17、==而原点O到直线l的距离d＝,∴SΔOEF=若SΔOEF＝，即解得k=±,满足②.故满足条件的直线l有两条，其方程分别为y=和例2．（Ⅰ）解法1：依题意，可设直线AB的方程为，整理得①设是方程①的两个不同的根，∴②且由N（1，3）是线段AB的中点，得解得k=－1，代入②得，的取值范围是（12，+∞）.于是，直线AB的方程为解法2：设则有依题意，∵N（1，3）是AB的中点，∴又由N（1，3）在椭圆内，∴∴的取值范围是（12，+∞）.直线AB的方程为y－3=－（x－1），即x+y－4
18、=0.（Ⅱ）解：∵CD垂直平分AB，∴直线CD的方程为y－3=x－1，即x－y+2=0，代入椭圆方程，整理得又设CD的中点为是方程③的两根，∴于是由弦长公式可得④将直线AB的方程x+y－4=0，代入椭圆方程得⑤同理可得⑥∵当时，假设存
