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时间:2020-01-23
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1、知识点——直线与圆相交求弦长直线与圆相交求弦长【求法】1直线被圆截得的弦长问题,两种解题方法:①利用半径r、弦心距d和弦长的一半构成直角三角形,结合勾股定理进行求解.②斜率为k的直线l与圆C交与A(x1,y1),B(x2,y2)两点,则2.求两圆公共弦长有两种解题方法:①联立两圆的方程求出交点坐标,再利用两点间距离公式进行求解.②求出两圆公共弦所在直线的方程,将问题转化为直线被圆截得的弦长问题.方法一:勾股定理法方法二:弦长公式法.直线与圆相交求弦长【典型例题】1、直线m经过点P(5,5)且和圆C:x2+y2=25相交,截得弦长l为求m的方程.解:
2、设圆心到直线m的距离为d,由于圆的半径r=5,弦长的一半所以由勾股定理,得:所以设直线方程为y–5=k(x–5)即kx–y+5–5k=0.由得或k=2.所以直线m的方程为x–2y+5=0或2x–y–5=0.直线与圆相交求弦长【典型例题】2、已知过点M(–3,–3)的直线l被圆x2+y2+4y–21=0所截得的弦长为求直线l的方程.解:将圆的方程写成标准形式,得x2+(y+2)2=25,所以,圆心的坐标是(0,–2),半径长r=5.如图,因为直线l的距离为所以弦心距为即圆心到所求直线l的距离为.直线与圆相交求弦长【典型例题】因为直线l过点M(–3,–
3、3),所以可设所求直线l的方程为y+3=k(x+3),即kx–y+3k–3=0.根据点到直线的距离公式,得到圆心到直线l的距离因此即
4、3k–1
5、=两边平方,并整理得到2k2–3k–2=0,解得k=或k=2.所以,所求直线l有两条,它们的方程分别为y+3=(x+3),或y+3=2(x+3).即x+2y=0,或2x–y+3=0.直线与圆相交求弦长【变形训练】1、已知直线y=kx+1与x2+y2=1相交于P、Q两点,O为坐标原点,若则k的值为()A.±B.±1C.±D.-直线与圆相交求弦长【变形训练】解析:设P(x1,y1),Q(x2,y2),联立两个方
6、程得x2+(kx+1)2=1,即(1+k2)x2+2kx=0,解得x1=0,x2=,则y1=1,y2故即k2=3,故k=±答案:A直线与圆相交求弦长【变形训练】2、如图,已知⊙M:x2+(y-2)2=1,Q是x轴上的动点,QA,QB分别切⊙M于A,B两点,(1)如果求直线MQ的方程;(2)求动弦AB的中点P的轨迹方程.直线与圆相交求弦长【变形训练】解(1)由可得由相似比得在Rt△MOQ中,故所以直线AB方程是直线与圆相交求弦长【变形训练】(2)连接MB,MQ,设由点M,P,Q在一直线上,得由即把(A)及(B)消去a,并注意到y<2,可得
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