167;74常系数线性差分方程的求解.docx

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7.4常系数线性差分方程的求解 1.迭代法2•时域经典法：齐次解+特解3.零输入响应+零状态响应利用卷积求系统的零状态响应4.Z变换法T反变换TJ（〃） 解差分方程的基础方法差分方程本身是一种递推关系,但得不到输出序歹少G）的解析式 例7-4一1已知y（〃）=3y（n-l）+u（nJLy（-l）=0,求解方程。n=0j（0）=3j（—1）+1=1n=lj（l）=3j（0）+l=4n=2j（2）=3j（l）+1=13n=3j（3）=3j（2）+1=40递推关系，可得输出值: 血）=¥4,13,40,- 二.时域经典法1•齐次解：齐次方程的解y(n)-ay(n-l)=d但起始状态y(-1)，y(-2)，…y(-N)不能全为零丿(一1)工0,j(o)_j(l)__血)顽页一…一说明丁(〃)是一个公比为a的几何级数，所以y(n)=Can/>r-a=0,可#r=a指数形式或由特征方程 ©求待定系数C由边界决定设丿(-1)=扌，代入原方程，令〃=0j(0)=aj(-l)=2由方程解y(n)j(0)=Ca°=C齐次解y(n)=2a"求差分方程齐次解步骤差分方程T特4iE方程-特征《才艮—>丁(〃)的解析式T由起始状态定常数 根据特征根，解的三种情况1・无重根丫丰％丰…丰丫“j(n)=C1(r1)n+C2(r2)n4-•••+Cn(rn)n2•有重扌艮 3・有共辄复数根 越例7-4-2求解二阶差分方程j(n)-5j(ra-1)+6j(n-2)=0已知y(0)=2,j(l)=1.特征方程r2—5r+6=0(r—2)(r—3)=0特征根匚=2，r2=3齐次解血)=G(2)"+C2(3)"定SC?n=0y(0)=C1+C2=2n=lj(1)=2Ci+3C2=1解出Ci=5,C2=-3所以曲)=5(2『-3(3)" ©例7-4-3求方程y（〃）+6y（n一1）+12y（n一2）+8j（n一3）=0的解。特征方程r3+6r2+12r+8=0（r+2）3=0所以/=-2三重根j(n)=Cx(-2)n+C2n(-2)n+C3n2(-2)n 给定边界条件即可求出常数Cjc2,c3 例7一4一4设々=r2=Me®j(n)=C1(r1)fl+C2(r2)"=€仙0『+C2(Me%y=Cn(cosn(p+jsmn(p)+C2Mn(cosn(p-jsmn(p)=PMncos〃0+QM"sinn(p£0为待定系数M=1y(n)为等幅正弦序列M>1y(n)为增幅正弦序列M<1y(n)为减幅正弦序列 su+suu.II'lvlXJ—(£)snvvfen?€+=€+:•+V+^p"l/x(0+tzs启spHvx(0+l/sSOJpH(Z/MVQ)启SHVVsoonv)x 求全解。齐次解r+2=0r=—2例7一4一5J(w)4-2y(n-1)=5u(n)且J(-l)=lJh(n)=C1(-2)w特解因为x(ri)=5u(n)n>0时全为5（常数）所以VpG)=c代入原方程求特解C+2C=5(n>0)所以C=-全解形式 jW=W+JpW=G(-2)W+| 由y（-1）=1迭代出n=0代入解y(〃)=C](-2)"+亍得j(°)=3=cl+l4所以G=—13所以曲）=牛（一2）"+彳n>0j(0)=5-2j(-1)=3 零输入响应+零状态响应1•零输入响应：输入为零，差分方程为齐次齐次解：C(r)MC由初始状态定(相当于0■的条件)2•零状态响应：初始状态为0，即丿(-1)=丿(-2)=...=0经典法：齐次解+特解求解方法卷积法 LTIS的差分方程y(n)+3j(n-1)+2j(n-2)=x(n)-x(n-l)已知兀G)=(-2)"u(n)j(0)=j(l)=0求系统的零输入响应。零输入响应yzi(n即当x(n)=0时的解。y(〃)+3y(n-1)+2y(n-2)=0r2+3r+2=0=—2，r2=—1yzM=ci(-2)"+c2(-i)w 求初始状态(0_状态)题目中j(o)=j(l)=o9是激励加上以后的，不能说明状态为0,需迭代求出j(-1),j(-2)。n=lj(l)+3j(0)+2j(—1)=(—2)w(l)+(—2)°w(0)0+0+2j(-1)=(-2)+1=-1•••心)=-£〃=0j(0)+3j(—1)+2j(—2)=(—2)°w(0)+(—2)1w(—1)0+3j(-1)+2j(-2)=1 ・・・丿(-2)仝由初始状态（0■状态）定C[C2以y（—1）』（—2）4弋入方程:儿丫(-1)=。1(-2尸+C2(-1)_1=-|yZi(-2)=C1(-2尸+c2(-1)-2=扌解得阡-31^2=2・・・打仏）=-3（-2）〃+2（-1）〃 零输入响应与输入无关 注意在求零输入响应时，要排除输入的影响找出输入力口上以前的初始状态。由初始状态再以x(n)=0代入方程^可以求出初始值丿(0)工0』(1)工0。