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时间:2020-01-19
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1、第八节含参变量的有限积分一.含参变量的有限积分1.定义设二元函数在矩形域有定义,积分 存在,则积分是定义在区间 的函数,记为称为含参变量的有限积分, 称为参变量.2.函数 的分析性质定理1若函数 在矩形域连续,则函数在区间 也连续.注:若函数 满足定理的条件时,则积分和极限可以交换次序.证明取,使有由连续函数的性质,在闭矩形域R上一致连续,即有特别是,有当时,有即函数在区间连续。定理2若函数 与 在矩形域连续,则函数在区间 可导,且,有或积分号下可微分.证明取,使有
2、已知在R存在,根据微分中值定理,有将它代入上式,等号两端除以,有上面的等式可化为函数在闭矩形域R上一致连续,即有从而有即或定理3若函数 在矩形域连续,则函数在区间 可积,且积分号下可积分.(1)证明根据定理1,函数在连续,则函数在区间可积.下面证明等式(1)成立.根据8.4定理1,有设已知与都在R连续,根据定理2,有于是,有则可得(其中C是常数).特别地,当 时,有即则当时,练:1计算例1求函数的导数.2.计算定积分提示:对含参变量积分求导.
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