高考数学第2章函数、导数及其应用第11节导数与函数的单调性教学案含解析.docx

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1、第十一节　导数与函数的单调性[考纲传真]　了解函数的单调性与导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间(其中多项式函数不超过三次)．函数的导数与单调性的关系函数y＝f(x)在某个区间内可导，则(1)若f′(x)＞0，则f(x)在这个区间内单调递增；(2)若f′(x)＜0，则f(x)在这个区间内单调递减；(3)若f′(x)＝0，则f(x)在这个区间内是常数函数．1．在某区间内f′(x)>0(f′(x)<0)是函数f(x)在此区间上为增(减)函数的充分不必要条件．2．可导函数f(x)在

2、(a，b)上是增(减)函数的充要条件是：对∀x∈(a，b)，都有f′(x)≥0(f′(x)≤0)，且f′(x)在(a，b)的任何子区间内都不恒为零．[基础自测]1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若函数f(x)在区间(a，b)上单调递增，那么在区间(a，b)上一定有f′(x)>0.()(2)如果函数在某个区间内恒有f′(x)＝0，则函数f(x)在此区间上没有单调性．()(3)f′(x)＞0是f(x)为增函数的充要条件．()(4)若函数f(x)在区间(a，b)

3、上满足f′(x)≤0，则函数f(x)在区间(a，b)上是减函数．()[答案]　(1)×　(2)√　(3)×　(4)×2．f(x)＝x3－6x2的单调递减区间为()A．(0,4)B．(0,2)C．(4，＋∞)D．(－∞，0)A　[f′(x)＝3x2－12x＝3x(x－4)，由f′(x)<0，得0

4、数C．函数f(x)在区间(0,2)上是减函数D．函数f(x)在区间(3,4)上是增函数A　[当x∈(－3,0)时，f′(x)＜0，则f(x)在(－3,0)上是减函数．其他判断均不正确．]4．(教材改编)函数f(x)＝cosx－x在(0，π)上的单调性是()A．先增后减B．先减后增C．增函数D．减函数D　[f′(x)＝－sinx－1，又x∈(0，π)，所以f′(x)＜0，因此f(x)在(0，π)上是减函数，故选D.]5．已知f(x)＝x3－ax在[1，＋∞)上是增函数，则a的取值范围是_______

5、_．(－∞，3]　[f′(x)＝3x2－a，由题意知f′(x)≥0，即a≤3x2对x∈[1，＋∞)恒成立．又当x∈[1，＋∞)时，3x2≥3，所以a≤3.]不含参数的函数的单调性1．函数y＝x2－lnx的单调递减区间为()A．(－1,1)B．(0,1)C．(1，＋∞)D．(0，＋∞)B　[函数y＝x2－lnx的定义域为(0，＋∞)，y′＝x－＝＝，令y′＜0，得0＜x＜1，所以单调递减区间为(0,1)，故选B.]2．已知函数f(x)＝xlnx，则f(x)()A．在(0，＋∞)上递增B．在(0，＋∞

6、)上递减C．在上递增D．在上递减D　[因为函数f(x)＝xlnx，定义域为(0，＋∞)，所以f′(x)＝lnx＋1(x＞0)，当f′(x)＞0时，解得x＞，即函数的单调递增区间为；当f′(x)＜0时，解得0＜x＜，即函数的单调递减区间为，故选D.]3．已知定义在区间(－π，π)上的函数f(x)＝xsinx＋cosx，则f(x)的单调递增区间是________．和　[f′(x)＝sinx＋xcosx－sinx＝xcosx，令f′(x)＝xcosx＞0，则其在区间(－π，π)上的解集为和，即f(x)的

7、单调递增区间为和.][规律方法]　求函数单调区间的步骤(1)确定函数f(x)的定义域；(2)求f′(x),(3)在定义域内解不等式f′(x)＞0，得单调递增区间；(4)在定义域内解不等式f′(x)＜0，得单调递减区间.易错警示：(1)求函数的单调区间时，一定要先确定函数的定义域，否则极易出错.(2)个别导数为0的点不影响所在区间的单调性，如函数f(x)＝x3，f′(x)＝3x2≥0(x＝0时，f′(x)＝0)，但f(x)＝x3在R上是增函数.含参数的函数的单调性【例1】　讨论函数f(x)＝(a－1

8、)lnx＋ax2＋1的单调性．[解]　f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝＋2ax＝.①当a≥1时，f′(x)＞0，故f(x)在(0，＋∞)上单调递增；②当a≤0时，f′(x)＜0，故f(x)在(0，＋∞)上单调递减；③当0＜a＜1时，令f′(x)＝0，解得x＝，则当x∈时，f′(x)＜0；当x∈时，f′(x)＞0，故f(x)在上单调递减，在上单调递增．[规律方法]　解决含参数的函数单调性问题应注意两点(1)研究含参数的函数的单调性，要依据参数对不等式解集的影响进行分类讨论