2020版高考数学一轮复习第2章函数导数及其应用第11节导数与函数的单调性教学案含解析理.pdf

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1、第十一节导数与函数的单调性[考纲传真]了解函数的单调性与导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间(其中多项式函数不超过三次)．函数的导数与单调性的关系函数y＝f(x)在某个区间内可导，则(1)若f′(x)＞0，则f(x)在这个区间内单调递增；(2)若f′(x)＜0，则f(x)在这个区间内单调递减；(3)若f′(x)＝0，则f(x)在这个区间内是常数函数．[常用结论]1．在某区间内f′(x)>0(f′(x)<0)是函数f(x)在此区间上为增(减)函数的充分不必要条件．2．可导函数f(x)在(a，b)上是增(减)函数的充要条件是：对x∈(a，b)，都

2、有f′(x)≥0(f′(x)≤0)，且f′(x)在(a，b)的任何子区间内都不恒为零．[基础自测]1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若函数f(x)在区间(a，b)上单调递增，那么在区间(a，b)上一定有f′(x)>0.()(2)如果函数在某个区间内恒有f′(x)＝0，则函数f(x)在此区间上没有单调性．()(3)f′(x)＞0是f(x)为增函数的充要条件．()(4)若函数f(x)在区间(a，b)上满足f′(x)≤0，则函数f(x)在区间(a，b)上是减函数．()[答案](1)×(2)√(3)×(4)×2．f(x)＝x3－6

3、x2的单调递减区间为()A．(0,4)B．(0,2)C．(4，＋∞)D．(－∞，0)A[f′(x)＝3x2－12x＝3x(x－4)，由f′(x)<0，得0

4、x)＝cosx－x在(0，π)上的单调性是()A．先增后减B．先减后增C．增函数D．减函数D[f′(x)＝－sinx－1，又x∈(0，π)，所以f′(x)＜0，因此f(x)在(0，π)上是减函数，故选D.]5．已知f(x)＝x3－ax在[1，＋∞)上是增函数，则a的取值范围是________．(－∞，3][f′(x)＝3x2－a，由题意知f′(x)≥0，即a≤3x2对x∈[1，＋∞)恒成立．又当x∈[1，＋∞)时，3x2≥3，所以a≤3.]不含参数的函数的单调性11．函数y＝x2－lnx的单调递减区间为()2A．(－1,1)B．(0,1)C．(1，＋∞)D．(0，

5、＋∞)1B[函数y＝x2－lnx的定义域为(0，＋∞)，21x2－1x－x＋y′＝x－＝＝，xxx令y′＜0，得0＜x＜1，所以单调递减区间为(0,1)，故选B.]2．已知函数f(x)＝xlnx，则f(x)()A．在(0，＋∞)上递增B．在(0，＋∞)上递减11C．在0，上递增D．在0，上递减eeD[因为函数f(x)＝xlnx，定义域为(0，＋∞)，所以f′(x)＝lnx＋1(x＞0)，1当f′(x)＞0时，解得x＞，e1即函数的单调递增区间为，＋∞；e1当f′(x)＜0时，解得0＜x＜，e1即函数的单调递减区间为0，，

6、故选D.]e3．已知定义在区间(－π，π)上的函数f(x)＝xsinx＋cosx，则f(x)的单调递增区间是________．ππ－π，－和0，[f′(x)＝sinx＋xcosx－sinx＝xcosx，22令f′(x)＝xcosx＞0，则其在区间(－π，π)上的解集为ππ－π，－和0，，22即f(x)的单调递增区间为ππ－π，－和0，.]22[规律方法]求函数单调区间的步骤确定函数fx的定义域；求fx,在定义域内解不等式fx＞0，得单调递增区间；在定义域内解不等式fx＜0，得单调递减区间.

7、易错警示：求函数的单调区间时，一定要先确定函数的定义域，否则极易出错.个别导数为0的点不影响所在区间的单调性，如函数fx＝x3，fx＝3x2x＝0时，fx＝，但fx＝x3在R上是增函数.含参数的函数的单调性【例1】讨论函数f(x)＝(a－1)lnx＋ax2＋1的单调性．[解]f(x)的定义域为(0，＋∞)，a－12ax2＋a－1f′(x)＝＋2ax＝.xx①当a≥1时，f′(x)＞0，故f(x)在(0，＋∞)上单调递增；②当a≤0时，f′(x)＜0，故f(x)在(0，＋∞)上单调递减；1－a1－a③当0＜a＜1时，令f′(x)＝0，解得x＝，则当x∈0，时

8、，f′(x