2019年高考数学(文)一轮复习第2章 函数、导数及其应用 第11节 导数与函数的单调性学案

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1、北师大版2019届高考数学一轮复习学案第十一节　导数与函数的单调性[考纲传真]　了解函数的单调性与导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间(其中多项式函数不超过三次)．(对应学生用书第32页)[基础知识填充]　函数的导数与单调性的关系函数y＝f(x)在某个区间内可导，则(1)若f′(x)＞0，则f(x)在这个区间内是增加的；(2)若f′(x)＜0，则f(x)在这个区间内是减少的；(3)若f′(x)＝0，则f(x)在这个区间内是常数函数．[知识拓展]1．在某区间内f′(x)>0(f′(x)<0)是函数f(x)在此区

2、间上为增(减)函数的充分不必要条件．2．可导函数f(x)在(a，b)上是增(减)函数的充要条件是：对任意x∈(a，b)，都有f′(x)≥0(f′(x)≤0)，且f′(x)在(a，b)的任何子区间内都不恒为零．[基本能力自测]1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若函数f(x)在区间(a，b)上单调递增，那么在区间(a，b)上一定有f′(x)>0.(　　)(2)如果函数在某个区间内恒有f′(x)＝0，则函数f(x)在此区间上没有单调性．(　　)(3)f′(x)＞0是f(x)为增函数的充要条件．(

3、　　)[答案]　(1)×　(2)√　(3)×2．f(x)＝x3－6x2的单调递减区间为(　　)A．(0,4)　B．(0,2)C．(4，＋∞)D．(－∞，0)A　[f′(x)＝3x2－12x＝3x(x－4)，由f′(x)<0，得0

4、f(x)在区间(0,2)上是减少的D．函数f(x)在区间(3,4)上是增加的A　[当x∈(－3,0)时，f′(x)＜0，则f(x)在(－3,0)上是减函数．其他判断均不正确．]4．(2015·陕西高考)设f(x)＝x－sinx，则f(x)(　　)A．既是奇函数又是减函数B．既是奇函数又是增函数C．是有零点的减函数D．是没有零点的奇函数B　[因为f′(x)＝1－cosx≥0，所以函数为增函数，排除选项A和C．又因为f(0)＝0－sin0＝0，所以函数存在零点，排除选项D，故选B．]5．(2017·浙江高考)函数y＝f(x)的导函数y

5、＝f′(x)的图像如图2112所示，则函数y＝f(x)的图像可能是(　　)图2112D　[观察导函数f′(x)的图像可知，f′(x)的函数值从左到右依次为小于0，大于0，小于0，大于0，∴对应函数f(x)的增减性从左到右依次为减、增、减、增．观察选项可知，排除A、C．如图所示，f′(x)有3个零点，从左到右依次设为x1，x2，x3，且x1，x3是极小值点，x2是极大值点，且x2>0，故选项D正确．7北师大版2019届高考数学一轮复习学案故选D．](对应学生用书第32页)判断或证明函数的单调性　已知函数f(x)＝lnx－ax2＋(2

6、－a)x.讨论f(x)的单调性．[解]　f(x)的定义域为(0，＋∞)．f′(x)＝－2ax＋2－a＝－.①若a≤0，则f′(x)＞0.所以f(x)在(0，＋∞)上单调递增．②若a＞0，则由f′(x)＝0，得x＝，且当x∈时，f′(x)＞0，当x∈时，f′(x)＜0.所以f(x)在上单调递增，在上单调递减．综上所述，当a≤0时，函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增；当a＞0时，函数f(x)在上单调递增，在上单调递减．[规律方法]　用导数证明函数f(x)在(a，b)内的单调性的步骤一求：求f′(x)；二定：确认f′(x)在(a，b)

7、内的符号；三结论：作出结论：f′(x)＞0时为增函数；f′(x)＜0时为减函数．7北师大版2019届高考数学一轮复习学案易错警示：研究含参数函数的单调性时，需注意依据参数取值对不等式解集的影响进行分类讨论．[变式训练1]　(2016·四川高考节选)设函数f(x)＝ax2－a－lnx，g(x)＝－，其中a∈R，e＝2.718…为自然对数的底数．(1)讨论f(x)的单调性；(2)证明：当x>1时，g(x)>0.【导学号：00090064】[解]　(1)由题意得f′(x)＝2ax－＝(x>0).2分当a≤0时，f′(x)<0，f(x)在

8、(0，＋∞)内单调递减．当a>0时，由f′(x)＝0有x＝，当x∈时，f′(x)<0，f(x)单调递减；5分当x∈时，f′(x)>0，f(x)单调递增.7分(2)证明：令s(x)＝ex－1－x，则s′(x)＝ex－1－1.9分当x>1时，s′(x)