高考数学一轮复习第2章函数导数及其应用第11节导数与函数的单调性教师用书文

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1、第十一节　导数与函数的单调性————————————————————————————————[考纲传真]　了解函数的单调性与导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间(其中多项式函数不超过三次)．函数的导数与单调性的关系函数y＝f(x)在某个区间内可导，则(1)若f′(x)＞0，则f(x)在这个区间内单调递增；(2)若f′(x)＜0，则f(x)在这个区间内单调递减；(3)若f′(x)＝0，则f(x)在这个区间内是常数函数．1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若函数f(x)在区间(a，b)上单调递增，那么在区间(a，b)上一定有f

2、′(x)>0.(　　)(2)如果函数在某个区间内恒有f′(x)＝0，则函数f(x)在此区间上没有单调性．(　　)(3)f′(x)＞0是f(x)为增函数的充要条件．(　　)[答案]　(1)×　(2)√　(3)×2．f(x)＝x3－6x2的单调递减区间为(　　)A．(0,4)B．(0,2)C．(4，＋∞)D．(－∞，0)A　[f′(x)＝3x2－12x＝3x(x－4)，由f′(x)<0，得0

3、(x)在区间(1,3)上是减函数C．函数f(x)在区间(0,2)上是减函数11D．函数f(x)在区间(3,4)上是增函数A　[当x∈(－3,0)时，f′(x)＜0，则f(x)在(－3,0)上是减函数．其他判断均不正确．]4．(2015·陕西高考)设f(x)＝x－sinx，则f(x)(　　)A．既是奇函数又是减函数B．既是奇函数又是增函数C．是有零点的减函数D．是没有零点的奇函数B　[因为f′(x)＝1－cosx≥0，所以函数为增函数，排除选项A和C.又因为f(0)＝0－sin0＝0，所以函数存在零点，排除选项D，故选B.]5．(2014·全国卷Ⅱ)若函数f(x)＝kx－lnx在区间(

4、1，＋∞)单调递增，则k的取值范围是(　　)A．(－∞，－2]B．(－∞，－1]C．[2，＋∞)D．[1，＋∞)D　[由于f′(x)＝k－，f(x)＝kx－lnx在区间(1，＋∞)单调递增⇔f′(x)＝k－≥0在(1，＋∞)上恒成立．由于k≥，而0<<1，所以k≥1，即k的取值范围为[1，＋∞)．]判断或证明函数的单调性　已知函数f(x)＝x3＋ax2＋b(a，b∈R)．试讨论f(x)的单调性.【导学号：31222081】[解]　f′(x)＝3x2＋2ax，令f′(x)＝0，解得x1＝0，x2＝－.2分当a＝0时，因为f′(x)＝3x2≥0，所以函数f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增

5、；4分当a＞0时，x∈∪(0，＋∞)时，f′(x)＞0，x∈时，f′(x)＜0，所以函数f(x)在，(0，＋∞)上单调递增，在上单调递减；7分当a＜0时，x∈(－∞，0)∪时，f′(x)＞0，x∈时，f′(x11)＜0，10分所以函数f(x)在(－∞，0)，上单调递增，在上单调递减.12分[规律方法]　用导数证明函数f(x)在(a，b)内的单调性的步骤(1)一求．求f′(x)；(2)二定．确认f′(x)在(a，b)内的符号；(3)三结论．作出结论：f′(x)＞0时为增函数；f′(x)＜0时为减函数．易错警示：研究含参数函数的单调性时，需注意依据参数取值对不等式解集的影响进行分类讨论．

6、[变式训练1]　(2016·四川高考节选)设函数f(x)＝ax2－a－lnx，g(x)＝－，其中a∈R，e＝2.718…为自然对数的底数．(1)讨论f(x)的单调性；(2)证明：当x>1时，g(x)>0.[解]　(1)由题意得f′(x)＝2ax－＝(x>0).2分当a≤0时，f′(x)<0，f(x)在(0，＋∞)内单调递减．当a>0时，由f′(x)＝0有x＝，当x∈时，f′(x)<0，f(x)单调递减；5分当x∈时，f′(x)>0，f(x)单调递增.7分(2)证明：令s(x)＝ex－1－x，则s′(x)＝ex－1－1.9分当x>1时，s′(x)>0，所以ex－1>x，从而g(x)＝－

7、>0.12分求函数的单调区间　(2016·天津高考节选)设函数f(x)＝x3－ax－b，x∈R，其中a，b∈R.求f(x)的单调区间．[解]　由f(x)＝x3－ax－b，可得f′(x)＝3x2－a.下面分两种情况讨论：①当a≤0时，有f′(x)＝3x2－a≥0恒成立，所以f(x)的单调递增区间为(－∞，＋∞).5分②当a＞0时，令f′(x)＝0，解得x＝或x＝－.11当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：x－f′(x)＋0－0＋f(x)单调递增