高考数学一轮复习第2章函数导数及其应用第8节函数与方程教师用书文

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1、第八节 函数与方程————————————————————————————————[考纲传真] 结合二次函数的图象,了解函数的零点与方程根的联系,判断一元二次方程根的存在性与根的个数.1.函数的零点(1)定义:对于函数y=f(x)(x∈D),把使f(x)=0成立的实数x叫做函数y=f(x)(x∈D)的零点.(2)函数零点与方程根的关系:方程f(x)=0有实根⇔函数y=f(x)的图象与x轴有交点⇔函数y=f(x)有零点.(3)零点存在性定理:如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线,并且有f(a)·f(b)<0,那么函

2、数y=f(x)在区间(a,b)内有零点,即存在x0∈(a,b),使得f(x0)=0.2.二次函数y=ax2+bx+c(a>0)的图象与零点的关系Δ=b2-4acΔ>0Δ=0Δ<0二次函数y=ax2+bx+c(a>0)的图象与x轴的交点(x1,0),(x2,0)(x1,0)无交点零点个数2101.(思考辨析)判断下列结论的正误.(正确的打“√”,错误的打“×”)(1)函数的零点就是函数的图象与x轴的交点.(  )(2)函数y=f(x),x∈D在区间(a,b)⊆D内有零点(函数图象连续不断),则f(a)·f(b)<0.(  )(3)若函数f(x

3、)在(a,b)上单调且f(a)·f(b)<0,则函数f(x)在[a,b]上有且只有一个零点.(  )(4)二次函数y=ax2+bx+c在b2-4ac<0时没有零点.(  )[答案] (1)× (2)× (3)× (4)√2.(教材改编)函数f(x)=ex+3x的零点个数是(  )A.0    B.1    11C.2    D.3B [∵f(-1)=-3<0,f(0)=1>0,∴f(x)在(-1,0)内有零点,又f(x)为增函数,∴函数f(x)有且只有一个零点.]3.(2015·安徽高考)下列函数中,既是偶函数又存在零点的是(  )A.y=

4、cosxB.y=sinxC.y=lnxD.y=x2+1A [由于y=sinx是奇函数;y=lnx是非奇非偶函数,y=x2+1是偶函数但没有零点,只有y=cosx是偶函数又有零点.]4.(2016·江西赣中南五校联考)函数f(x)=3x-x2的零点所在区间是(  )A.(0,1)B.(1,2)C.(-2,-1)D.(-1,0)D [∵f(-2)=-,f(-1)=-,f(0)=1,f(1)=2,f(2)=5,∴f(0)f(1)>0,f(1)f(2)>0,f(-2)f(-1)>0,f(-1)f(0)<0,故选D.]5.函数f(x)=ax+1-2a

5、在区间(-1,1)上存在一个零点,则实数a的取值范围是________.【导学号:31222059】 [∵函数f(x)的图象为直线,由题意可得f(-1)f(1)<0,∴(-3a+1)·(1-a)<0,解得<a<1,∴实数a的取值范围是.]11函数零点所在区间的判断 (1)设f(x)=lnx+x-2,则函数f(x)的零点所在的区间为(  )A.(0,1)B.(1,2)C.(2,3)D.(3,4)(2)函数f(x)=x2-3x-18在区间[1,8]上________(填“存在”或“不存在”)零点.【导学号:31222060】(1)B (2)存在

6、 [(1)函数f(x)的零点所在的区间可转化为函数g(x)=lnx,h(x)=-x+2图象交点的横坐标所在的取值范围.作图如下:可知f(x)的零点所在的区间为(1,2).(2)法一:∵f(1)=12-3×1-18=-20<0,f(8)=82-3×8-18=22>0,∴f(1)·f(8)<0,又f(x)=x2-3x-18,x∈[1,8]的图象是连续的,故f(x)=x2-3x-18在x∈[1,8]上存在零点.法二:令f(x)=0,得x2-3x-18=0,∴(x-6)(x+3)=0.∵x=6∈[1,8],x=-3∉[1,8],∴f(x)=x2-3

7、x-18在x∈[1,8]上存在零点.][规律方法] 判断函数零点所在区间的方法:判断函数在某个区间上是否存在零点,要根据具体题目灵活处理,当能直接求出零点时,就直接求出进行判断;当不能直接求出时,可根据零点存在性定理判断;当用零点存在性定理也无法判断时,可画出图象判断.[变式训练1] 已知函数f(x)=lnx-x-2的零点为x0,则x0所在的区间是(  )A.(0,1)B.(1,2)C.(2,3)D.(3,4)11C [∵f(x)=lnx-x-2在(0,+∞)上是增函数,又f(1)=ln1--1=ln1-2<0,f(2)=ln2-0<0,f

8、(3)=ln3-1>0,∴x0∈(2,3),故选C.]判断函数零点的个数 (1)函数f(x)=2x

9、log0.5x

10、-1的零点个数为(  )A.1    B.2C.3    D.

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