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时间:2019-10-24
《高考数学第2章函数、导数及其应用第8节函数与方程教学案(含解析)》由会员上传分享,免费在线阅读,更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、第八节 函数与方程[考纲传真] 结合二次函数的图象,了解函数的零点与方程根的联系,判断一元二次方程根的存在性与根的个数.1.函数的零点(1)定义:对于函数y=f(x)(x∈D),把使f(x)=0成立的实数x叫做函数y=f(x)(x∈D)的零点.(2)函数零点与方程根的关系:方程f(x)=0有实根⇔函数y=f(x)的图象与x轴有交点⇔函数y=f(x)有零点.(3)零点存在性定理:如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线,并且有f(a)·f(b)<0,那么函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点,即存在x0
2、∈(a,b),使得f(x0)=0.2.二次函数y=ax2+bx+c(a>0)的图象与零点的关系Δ=b2-4acΔ>0Δ=0Δ<0二次函数y=ax2+bx+c(a>0)的图象与x轴的交点(x1,0),(x2,0)(x1,0)(或(x2,0))无交点零点个数2103.二分法(1)定义对于在区间[a,b]上连续不断且f(a)·f(b)<0的函数y=f(x),通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二,使区间的两个端点逐步逼近零点,进而得到零点近似值的方法叫做二分法.(2)二分法求函数零点近似值的步骤1.函数f(x)在区间[a,
3、b]上的图象是连续不断的曲线,则“f(a)·f(b)<0”是函数f(x)在区间(a,b)内有零点的充分不必要条件.2.若函数f(x)在区间[a,b]上是单调函数,且f(a)·f(b)<0,则函数f(x)在区间(a,b)内只有一个零点.[基础自测]1.(思考辨析)判断下列结论的正误.(正确的打“√”,错误的打“×”)(1)函数的零点就是函数的图象与x轴的交点.()(2)函数y=f(x),x∈D在区间(a,b)⊆D内有零点(函数图象连续不断),则f(a)·f(b)<0.()(3)若函数f(x)在(a,b)上单调且f(a)·f(b)
4、<0,则函数f(x)在[a,b]上有且只有一个零点.()(4)二次函数y=ax2+bx+c在b2-4ac<0时没有零点.()[答案] (1)× (2)× (3)× (4)√2.(教材改编)函数f(x)=ex+3x的零点个数是()A.0B.1C.2D.3B [∵f(-1)=-3<0,f(0)=1>0,∴f(x)在(-1,0)内有零点,又f(x)为增函数,∴函数f(x)有且只有一个零点.]3.下列函数中,既是偶函数又存在零点的是()A.y=cosxB.y=sinxC.y=lnxD.y=x2+1A [由于y=sinx是奇函数,y=l
5、nx是非奇非偶函数,y=x2+1是偶函数但没有零点,只有y=cosx是偶函数又有零点.]4.函数f(x)=3x-x2的零点所在区间是()A.(0,1)B.(1,2)C.(-2,-1)D.(-1,0)D [∵f(-2)=-,f(-1)=-,f(0)=1,f(1)=2,f(2)=5,∴f(0)f(1)>0,f(1)f(2)>0,f(-2)f(-1)>0,f(-1)f(0)<0,故选D.]5.函数f(x)=ax+1-2a在区间(-1,1)上存在一个零点,则实数a的取值范围是________. [∵函数f(x)的图象为直线,由题意可得
6、f(-1)f(1)<0,∴(-3a+1)·(1-a)<0,解得<a<1,∴实数a的取值范围是.]判断函数零点所在的区间1.若a<b<c,则函数f(x)=(x-a)(x-b)+(x-b)(x-c)+(x-c)(x-a)的两个零点分别位于区间()A.(a,b)和(b,c)内B.(-∞,a)和(a,b)内C.(b,c)和(c,+∞)内D.(-∞,a)和(c,+∞)内A [∵a<b<c,∴f(a)=(a-b)(a-c)>0,f(b)=(b-c)(b-a)<0,f(c)=(c-a)(c-b)>0,由函数零点存在性定理可知:在区间(a,b
7、)和(b,c)内分别存在零点,又函数f(x)是二次函数,最多有两个零点,因此函数f(x)的两个零点分别位于区间(a,b)和(b,c)内,故选A.]2.设x0是方程=的解,则x0所在的范围是()A.B.C.D.B [构造函数f(x)=-,因为f(0)=-=1>0,f=-=->0,f=-=-<0.所以由零点存在性定理可得函数f(x)=-在上存在零点,即x0∈,故选B.]3.设函数y1=x3与y2=的图象的交点为(x0,y0),若x0∈(n,n+1),n∈N,则x0所在的区间是________.(1,2) [设f(x)=x3-,则f
8、(x)在R上是增函数,又f(1)=1-2=-1<0,f(2)=8-1=7>0,则x0∈(1,2).]4.已知[x]表示不超过实数x的最大整数,g(x)=[x]为取整函数,x0是函数f(x)=lnx-的零点,则g(x0)=________.2 [f(2)=ln2-1<0,f(3
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