高考数学第2章函数、导数及其应用第4节二次函数与幂函数教学案（含解析）

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1、第四节　二次函数与幂函数[考纲传真]　1.(1)了解幂函数的概念；(2)结合函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝x，y＝的图象，了解它们的变化情况.2.理解二次函数的图象和性质，能用二次函数、方程、不等式之间的关系解决简单问题．1．二次函数(1)二次函数解析式的三种形式一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)；顶点式：f(x)＝a(x－h)2＋k(a≠0)，顶点坐标为(h，k)；零点式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，x1，x2为f(x)的零点．(2)二次函数的图象与性质函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)y＝ax2＋bx＋

2、c(a＜0)图象定义域R值域单调性在上减，在上增在上增，在上减奇偶性当b＝0时为偶函数对称性函数的图象关于直线x＝－对称2.幂函数(1)定义：形如y＝xα(α∈R)的函数称为幂函数，其中x是自变量，α是常数．(2)五种常见幂函数的图象与性质函数特征性质y＝xy＝x2y＝x3y＝xy＝x－1图象定义域RRR{x

3、x≥0}{x

4、x≠0}值域R{y

5、y≥0}R{y

6、y≥0}{y

7、y≠0}奇偶性奇偶奇非奇非偶奇单调性增(－∞，0)(0，＋∞)增减，增增(－∞，0)和(0，＋∞)减公共点(1,1)1．与二次函数有关的恒成立问题设f(x)＝ax2＋bx＋

8、c(a≠0)，则(1)f(x)＞0恒成立的充要条件是；(2)f(x)＜0恒成立的充要条件是；(3)f(x)＞0(a＜0)在区间[m，n]恒成立的充要条件是；(4)f(x)＜0(a＞0)在区间[m，n]恒成立的充要条件是.2．幂函数y＝xα(α∈R)的图象特征(1)幂函数的图象一定会出现在第一象限内，一定不会出现在第四象限，至于是否出现在第二、三象限内，要看函数的奇偶性．(2)幂函数的图象过定点(1,1)，如果幂函数的图象与坐标轴相交，则交点一定是原点．(3)当α＞0时，y＝xα在[0，＋∞)上为增函数；当α＜0时，y＝xα在(0，＋∞)上为减

9、函数．[基础自测]1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)二次函数y＝ax2＋bx＋c，x∈R，不可能是偶函数．()(2)二次函数y＝ax2＋bx＋c，x∈[a，b]的最值一定是.()(3)幂函数的图象一定经过点(1,1)和点(0,0)．()(4)当n＞0时，幂函数y＝xn在(0，＋∞)上是增函数．()[答案]　(1)×　(2)×　(3)×　(4)√2．(教材改编)已知幂函数f(x)＝xα的图象过点(4,2)，若f(m)＝3，则实数m的值为()A.B．±C．±D．9D　[由题意可知4α＝22α＝2，所以α＝

10、.所以f(x)＝x＝，故f(m)＝＝3⇒m＝9.]3．已知函数f(x)＝ax2＋x＋5的图象在x轴上方，则a的取值范围是()A.B.C.D.C　[由题意知即得a＞.]4．(教材改编)如图是①y＝xa；②y＝xb；③y＝xc在第一象限的图象，则a，b，c的大小关系为()A．c＜b＜aB．a＜b＜cC．b＜c＜aD．a＜c＜bD　[由图象知②③的指数大于零且b＞c，①的指数小于零，因此b＞c＞a，故选D.]5．若f(x)＝(x＋a)(x－4)为偶函数，则实数a＝________.4　[f(x)＝x2＋(a－4)x－4a，由f(x)是偶函数知a－4

11、＝0，所以a＝4.]幂函数的图象与性质1．幂函数y＝f(x)的图象过点(8,2)，则幂函数y＝f(x)的图象是()ABCDC　[令f(x)＝xα，由f(8)＝2得8α＝2，即23α＝2，解得α＝，所以f(x)＝x，故选C.]2．若a＝，b＝，c＝，则a，b，c的大小关系是()A．a＜b＜cB．c＜a＜bC．b＜c＜aD．b＜a＜cD　[a＝＝，b＝＝，c＝，由＜＜得b＜a＜c，故选D.]3．(2019·兰州模拟)已知幂函数f(x)＝k·xα的图象过点，则k＋α等于()A.B．1C.D．2C　[由幂函数的定义知k＝1.又f＝，所以＝，解得α＝，

12、从而k＋α＝.]4．若(a＋1)＜(3－2a)，则实数a的取值范围是________．　[易知函数y＝x的定义域为[0，＋∞)，在定义域内为增函数，所以解得－1≤a＜.][规律方法]　幂函数的性质与图象特征的关系(1)幂函数的形式是y＝xα(α∈R)，其中只有一个参数α，因此只需一个条件即可确定其解析式.(2)判断幂函数y＝xα(α∈R)的奇偶性时，当α是分数时，一般将其先化为根式，再判断.(3)若幂函数y＝xα在(0，＋∞)上单调递增，则α＞0，若在(0，＋∞)上单调递减，则α＜0.求二次函数的解析式【例1】　(1)已知二次函数f(x)满足

13、f(2)＝－1，f(－1)＝－1，且f(x)的最大值是8，则f(x)＝________.(2)已知二次函数f(x)与x轴的两个交点坐标为(0,0)和(－2,0)且有