1、第三章3.13.1.3A级 基础巩固一、选择题1.函数y=f(x)在x=x0处的导数f′(x0)的几何意义是( C )A.在点x0处的斜率B.在点(x0,f(x0))处的切线与x轴所夹的锐角的正切值C.曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处切线的斜率D.点(x0,f(x0))与点(0,0)连线的斜率[解析] 由导数的几何意义可知函数y=f(x)在x=x0的导数f′(x0),即为曲线在点(x0,f(x0))处的切线的斜率.2.曲线y=x3在点P处的切线斜率为3,则点P的坐标为( B )A.(-2,
2、-8) B.(1,1),(-1,-1)C.(2,8)D.(-,-)[解析] ∵y=x3,∴y′===(Δx2+3x·Δx+3x2)=3x2.令3x2=3,得x=±1,∴点P的坐标为(1,1),(-1,-1).3.(2016·重庆一中高二月考)已知曲线y=f(x)在x=5处的切线方程是y=-x+8,则f(5)及f′(5)分别为( B )A.3,3B.3,-1C.-1,3D.-1,-1[解析] 由已知得f(5)=-5+8=3,f′(5)=-1,故选B.4.曲线y=x3-2x+1在点(1,0)处的切
3、线方程为( A )A.y=x-1B.y=-x+1C.y=2x-2D.y=-2x+2[解析] ∵f′(x)===(Δx2+3x·Δx+3x2-2)=3x2-2,∴f′(1)=3-2=1,∴切线的方程为y=x-1.5.已知曲线f(x)=x2+2x的一条切线斜率是4,则切点的横坐标为( D )A.-2B.-1C.1D.2[解析] Δy=f(x+Δx)-f(x)=(x+Δx)2+2(x+Δx)-x2-2x=x·Δx+(Δx)2+2Δx,∴=x+Δx+2,∴f′(x)==x+2.设切点坐标为(x0,y0),则
4、f′(x0)=x0+2.由已知x0+2=4,∴x0=2,故选D.6.(2016·山东临沂一中高二检测)已知函数f(x)的图象如图所示,f′(x)是f(x)的导函数,则下列结论正确的是( B )A.0
6、,f(x0))处的切线的斜率大于0,故倾斜角为锐角.三、解答题9.已知曲线方程为y=x2,求过点A(2,4)且与曲线相切的直线方程.[解析] ∵f′(x)===(2x+Δx)=2x,又点A(2,4)在曲线y=x2上,∴f′(2)=4,∴所求切线的斜率k=4,故所求切线的方程为y-4=4(x-2),即4x-y-4=0.B级 素养提升一、选择题1.设曲线y=ax2在点(1,a)处的切线与直线2x-y-6=0平行,则a等于( A )A.1B.C.-D.-1[解析] ∵y′
7、x=1===(2a+aΔx)=2
8、a,∴2a=2,∴a=1.2.(2016·天津南开中学检测)已知抛物线y=f(x)=x2与直线y=2x+b相切,若f′(x0)=2,则x0=( D )A.-1B.2C.-D.1[解析] 由消去y,得x2-2x-b=0,①∵抛物线y=x2与直线y=2x+b相切,∴Δ=4+4b=0,解得b=-1.此时,方程①的根为x=1,∴切点坐标为(1,1).由导数的几何意义得f′(1)=2,∴x0=1.3.已知直线ax-by-2=0与曲线y=x3在点P(1,1)处的切线互相垂直,则为( D )A.B.-C.D.-[
9、解析] 由导数的定义可得y′=3x2,∴y=x3在点P(1,1)处的切线斜率k=y′
10、x=1=3,由条件知,3×=-1,∴=-.4.设P0为曲线f(x)=x3+x-2上的点,且曲线在P0处切线平行于直线y=4x-1,则P0点的坐标为( C )A.(1,0)B.(2,8)C.(1,0)或(-1,-4)D.(2,8)或(-1,-4)[解析] f′(x)===3x2+1.由于曲线f(x)=x3+x-2在P0处的切线平行于直线y=4x-1,所以f(x)在P0处的导数值等于4,