高中数学第三章导数及其应用3.1变化率与导数3.1.1_3.1.2变化率问题导数的概念学案含解析新人教A版

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1、3.1　变化率与导数3.1.1　变化率问题3.1.2　导数的概念学习目标　1.了解导数概念的实际背景.2.会求函数在某一点附近的平均变化率.3.会利用导数的定义求函数在某点处的导数．知识点一　函数y＝f(x)从x1到x2的平均变化率假设如图是一座山的剖面示意图，并建立如图所示平面直角坐标系．A是出发点，H是山顶．爬山路线用函数y＝f(x)表示．自变量x表示某旅游者的水平位置，函数值y＝f(x)表示此时旅游者所在的高度．设点A的坐标为(x1，y1)，点B的坐标为(x2，y2)．思考1　若旅游者从点

2、A爬到点B，自变量x和函数值y的改变量分别是多少？答案　自变量x的改变量为x2－x1，记作Δx，函数值的改变量为y2－y1，记作Δy.思考2　怎样用数量刻画弯曲山路的陡峭程度？AB与BC哪一段更陡峭？答案　①对山路AB来说，用＝可近似地刻画其陡峭程度．②BC更陡峭．梳理　(1)定义式：＝，叫函数f(x)在区间[x1，x2]上的平均变化率．(2)实质：函数值的增量与自变量增量之比．(3)作用：刻画函数值在区间[x1，x2]上变化的快慢．(4)平均变化率的几何意义：设A(x1，f(x1))，B(x2

3、，f(x2))是曲线y＝f(x)上任意不同的两点，函数y＝f(x)的平均变化率＝＝为割线AB的斜率，如图所示．特别提醒：Δx是变量x2在x1处的改变量，且x2是x1附近的任意一点，即Δx＝x2－x1≠0，但Δx可以为正，也可以为负．知识点二　函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率定义式＝实质瞬时变化率是当自变量的改变量趋近于0时，平均变化率趋近的值作用刻画函数在某一点处变化的快慢特别提醒：“Δx无限趋近于0”的含义Δx趋于0的距离要多近有多近，即

4、Δx－0

5、可以小于给定的任意小的正数，且始终Δ

6、x≠0.知识点三　导数的概念定义式＝记法f′(x0)或y′

7、x＝x0实质函数y＝f(x)在x＝x0处的导数就是y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率1．函数在某一点的导数与Δx值的正、负无关．(　√　)2．瞬时变化率是刻画某函数值在区间[x1，x2]上变化快慢的物理量．(　×　)3．在导数的定义中，Δx，Δy都不可能为零．(　×　)类型一　函数的平均变化率命题角度1　求函数的平均变化率例1　求函数y＝2x2＋3在x0到x0＋Δx之间的平均变化率，并求当x0＝2，Δx＝－时该函数的平均变化率．考点　

8、平均变化率的概念题点　求平均变化率解　当自变量从x0变化到x0＋Δx时，函数的平均变化率为＝＝＝＝4x0＋2Δx.当x0＝2，Δx＝－时，平均变化率的值为4×2＋2×＝7.反思与感悟　求平均变化率的主要步骤(1)先计算函数值的改变量Δy＝f(x2)－f(x1)．(2)再计算自变量的改变量Δx＝x2－x1.(3)得平均变化率＝.跟踪训练1　(1)已知函数f(x)＝x2＋2x－5的图象上的一点A(－1，－6)及邻近一点B(－1＋Δx，－6＋Δy)，则＝________.(2)如图所示是函数y＝f(x

9、)的图象，则函数f(x)在区间[－1,1]上的平均变化率为________；函数f(x)在区间[0,2]上的平均变化率为________．考点　平均变化率的概念题点　求平均变化率答案　(1)Δx　(2)　解析　(1)＝＝＝Δx.(2)函数f(x)在区间[－1,1]上的平均变化率为＝＝.由函数f(x)的图象知，f(x)＝所以函数f(x)在区间[0,2]上的平均变化率为＝＝.命题角度2　平均变化率的几何意义例2　过曲线y＝f(x)＝x2－x上的两点P(1,0)和Q(1＋Δx，Δy)作曲线的割线，已知

10、割线PQ的斜率为2，求Δx的值．考点　平均变化率的概念题点　平均变化率的应用解　割线PQ的斜率即为函数f(x)从1到1＋Δx的平均变化率.∵Δy＝f(1＋Δx)－f(1)＝(1＋Δx)2－(1＋Δx)－(12－1)＝Δx＋(Δx)2，∴割线PQ的斜率k＝＝1＋Δx.又∵割线PQ的斜率为2，∴1＋Δx＝2，∴Δx＝1.反思与感悟　函数y＝f(x)从x1到x2的平均变化率的实质是函数y＝f(x)图象上两点P1(x1，f(x1))，P2(x2，f(x2))连线P1P2的斜率，即kP1P2＝＝.跟踪训练

11、2　(1)甲、乙两人走过的路程s1(t)，s2(t)与时间t的关系如图所示，则在[0，t0]这个时间段内，甲、乙两人的平均速度v甲，v乙的关系是(　　)A．v甲>v乙B．v甲