2018_2019学年高中数学第三章导数及其应用3.1变化率与导数3.1.1_3.1.2变化率问题导数的概念讲义（含解析）

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1、3．1.1&3.1.2　变化率问题　导数的概念　　　　预习课本P72～76，思考并完成以下问题1．平均变化率的定义是什么？平均变化率的几何意义是什么？　　　2．瞬时变化率的定义是怎样的？如何求瞬时变化率？　　　3．如何用定义求函数在某一点处的导数？　　1．函数y＝f(x)从x1到x2的平均变化率(1)定义式：＝.(2)实质：函数值的改变量与自变量的改变量之比．(3)意义：刻画函数值在区间[x1，x2]上变化的快慢．(4)平均变化率的几何意义：设A(x1，f(x1))，B(x2，f(x2))是曲线y＝f(x)上任意不同的两点，函数y＝f(x)的平均变化率＝＝为割线AB的斜率，如图所

2、示．[点睛]　Δx是变量x2在x1处的改变量，且x2是x1附近的任意一点，即Δx＝x2－x1≠0，但Δx可以为正，也可以为负．2．函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率定义式li＝li实质瞬时变化率是当自变量的改变量趋近于0时，平均变化率趋近的值作用刻画函数在某一点处变化的快慢　　[点睛]　“Δx无限趋近于0”的含义Δx趋于0的距离要多近有多近，即

3、Δx－0

4、可以小于给定的任意小的正数，且始终Δx≠0.3．导数的概念定义式li＝li记法f′(x0)或y′

5、x＝x0实质函数y＝f(x)在x＝x0处的导数就是y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率[点睛]　函数f(x)在x0处的导数(

6、1)当Δx≠0时，比值的极限存在，则f(x)在点x0处可导；若的极限不存在，则f(x)在点x0处不可导或无导数．(2)在点x＝x0处的导数的定义可变形为f′(x0)＝li或f′(x0)＝li.1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)函数y＝f(x)在x＝x0处的导数值与Δx值的正、负无关(　　)(2)瞬时变化率是刻画某函数值在区间[x1，x2]上变化快慢的物理量(　　)(3)在导数的定义中，Δx，Δy都不可能为零(　　)答案：(1)√　(2)×　(3)×2．函数y＝f(x)，自变量x由x0改变到x0＋Δx时，函数的改变量Δy为(　　)A．f(x0＋Δx)

7、　　　　　B．f(x0)＋ΔxC．f(x0)·ΔxD．f(x0＋Δx)－f(x0)答案：D　3．已知函数f(x)＝2x2－4的图象上两点A，B，且xA＝1，xB＝1.1，则函数f(x)从A点到B点的平均变化率为(　　)A．4　　B．4x　　C．4.2　　D．4.02答案：C4．在f′(x0)＝中，Δx不可能为(　　)A．大于0B．小于0C．等于0D．大于0或小于0答案：C求函数的平均变化率[典例]　求函数f(x)＝x2在x＝1,2,3附近的平均变化率，取Δx的值为，哪一点附近的平均变化率最大？[解]　在x＝1附近的平均变化率为k1＝＝＝2＋Δx；在x＝2附近的平均变化率为k2＝＝

8、＝4＋Δx；在x＝3附近的平均变化率为k3＝＝＝6＋Δx；若Δx＝，则k1＝2＋＝，k2＝4＋＝，k3＝6＋＝，由于k1＜k2＜k3，故在x＝3附近的平均变化率最大．求平均变化率的步骤(1)先计算函数值的改变量Δy＝f(x1)－f(x0)．(2)再计算自变量的改变量Δx＝x1－x0.(3)求平均变化率＝.[注意]　Δx，Δy的值可正，可负，但Δx≠0，Δy可为零，若函数f(x)为常值函数，则Δy＝0.　　　　[活学活用]已知函数f(x)＝x＋，分别计算f(x)在[1,2]和[3,5]上的平均变化率，并比较两个区间上变化的快慢．解：自变量x从1变化到2时，函数f(x)的平均变化率为

9、＝＝.自变量x从3变化到5时，函数f(x)的平均变化率为＝＝.由于＜，所以函数f(x)＝x＋在[3,5]的平均变化比在[1,2]的平均变化快．求瞬时速度[典例]　一做直线运动的物体，其位移s与时间t的关系是s(t)＝3t－t2.(1)求此物体的初速度；(2)求此物体在t＝2时的瞬时速度．[解]　(1)当t＝0时的速度为初速度．在0时刻取一时间段[0,0＋Δt]，即[0，Δt]，∴Δs＝s(Δt)－s(0)＝[3Δt－(Δt)2]－(3×0－02)＝3Δt－(Δt)2，＝＝3－Δt，li＝li(3－Δt)＝3.∴物体的初速度为3.(2)取一时间段[2,2＋Δt]，∴Δs＝s(2＋Δ

10、t)－s(2)＝[3(2＋Δt)－(2＋Δt)2]－(3×2－22)＝－Δt－(Δt)2，＝＝－1－Δt，li＝li(－1－Δt)＝－1，∴当t＝2时，物体的瞬时速度为－1.1．求运动物体瞬时速度的三个步骤(1)求时间改变量Δt和位移改变量Δs＝s(t0＋Δt)－s(t0)．(2)求平均速度＝；(3)求瞬时速度，当Δt无限趋近于0时，无限趋近于常数v，即为瞬时速度．2．求(当Δx无限趋近于0时)的极限的方法(1)在极限表达式中，可把Δx作为一个数来参与运算；(2)求出的表达式后，