高中数学第三章导数及其应用3.1变化率与导数3.1.3导数的几何意义学案（含解析）新人教A版

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1、3.1.3　导数的几何意义学习目标　1.了解导函数的概念，理解导数的几何意义.2.会求简单函数的导函数.3.根据导数的几何意义，会求曲线上某点处的切线方程．知识点一　导数的几何意义(1)切线的概念：如图，对于割线PPn，当点Pn趋近于点P时，割线PPn趋近于确定的位置，这个确定位置的直线PT称为点P处的切线．(2)导数的几何意义：函数f(x)在x＝x0处的导数就是切线PT的斜率k，即k＝＝f′(x0)．(3)切线方程：曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)．特别提醒：曲线的切线并不一定与曲线只有一个交

2、点，可能有多个，甚至可以无穷多．与曲线只有一个公共点的直线也不一定是曲线的切线．知识点二　导函数的概念(1)定义：当x变化时，f′(x)便是x的一个函数，我们称它为f(x)的导函数(简称导数)．(2)记法：f′(x)或y′，即f′(x)＝y′＝.1．f′(x0)与(f(x0))′表示的意义相同．(　×　)2．求f′(x0)时，可先求f(x0)再求f′(x0)．(　×　)3．f′(x0)

3、程的求解及应用题点　求曲线的切线方程解　将x＝2代入曲线C的方程得y＝4，∴切点P(2,4)．y′

4、x＝2＝＝＝＝4，∴k＝y′

5、x＝2＝4.∴曲线在点P(2,4)处的切线方程为y－4＝4(x－2)，即4x－y－4＝0.反思与感悟　求曲线在某点处的切线方程的步骤跟踪训练1　曲线y＝x2＋1在点P(2,5)处的切线与y轴交点的纵坐标是________．考点　切线方程的求解及应用题点　求曲线的的切线方程答案　－3解析　y′

6、x＝2＝＝＝(4＋Δx)＝4，∴k＝y′

7、x＝2＝4.曲线y＝x2＋1在点P(2,5)处的切线方程为y－5＝4(x－2)，即y＝4x－3.

8、∴切线与y轴交点的纵坐标是－3.类型二　求切点坐标例2　已知抛物线y＝2x2＋1分别满足下列条件，请求出切点的坐标．(1)切线的倾斜角为45°.(2)切线平行于直线4x－y－2＝0.(3)切线垂直于直线x＋8y－3＝0.考点　切线方程的求解及应用题点　求切点坐标解　设切点坐标为(x0，y0)，则Δy＝2(x0＋Δx)2＋1－2x－1＝4x0·Δx＋2(Δx)2，∴＝4x0＋2Δx，当Δx→0时，→4x0，即f′(x0)＝4x0.(1)∵抛物线的切线的倾斜角为45°，∴斜率为tan45°＝1.即f′(x0)＝4x0＝1，得x0＝，∴切点的坐标为.(2)∵抛物

9、线的切线平行于直线4x－y－2＝0，∴k＝4，即f′(x0)＝4x0＝4，得x0＝1，∴切点坐标为(1,3)．(3)∵抛物线的切线与直线x＋8y－3＝0垂直，则k·＝－1，即k＝8，故f′(x0)＝4x0＝8，得x0＝2，∴切点坐标为(2,9)．反思与感悟　根据切线斜率求切点坐标的步骤(1)设切点坐标(x0，y0)．(2)求导函数f′(x)．(3)求切线的斜率f′(x0)．(4)由斜率间的关系列出关于x0的方程，解方程求x0.(5)点(x0，y0)在曲线f(x)上，将x0代入求y0，得切点坐标．跟踪训练2　已知直线l：y＝4x＋a与曲线C：y＝x3－2x2

10、＋3相切，求a的值及切点坐标．考点　切线方程的求解及应用题点　求切点坐标解　设直线l与曲线C相切于点P(x0，y0)．∵f′(x)＝＝＝3x2－4x，由题意可知k＝4，即3x－4x0＝4，解得x0＝－或x0＝2，∴切点的坐标为或(2,3)．当切点为时，有＝4×＋a，a＝.当切点为(2,3)时，有3＝4×2＋a，a＝－5.∴当a＝时，切点为；当a＝－5时，切点为(2,3)．类型三　导数几何意义的应用例3　已知函数f(x)在区间[0,3]上的图象如图所示，记k1＝f′(1)，k2＝f′(2)，k3＝kAB，则k1，k2，k3之间的大小关系为________．(

11、请用“>”连接)考点　导数的几何意义题点　导数几何意义的理解答案　k1>k3>k2解析　由导数的几何意义，可得k1>k2.∵k3＝表示割线AB的斜率，∴k1>k3>k2.反思与感悟　导数几何意义的综合应用问题的解题关键还是对函数进行求导，利用题目所提供的如直线的位置关系、斜率取值范围等关系求解相关问题，此处常与函数、方程、不等式等知识相结合．跟踪训练3　已知曲线f(x)＝2x2＋a在点P处的切线方程为8x－y－15＝0，则实数a的值为________．考点　切线方程的求解及应用题点　根据切点或切线斜率求值答案　－7解析　设点P(x0,2x＋a)．由导数的几

12、何意义可得f′(x0)＝＝＝4x0＝8，∴x0＝2，∴P(2,8＋