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《2018年秋高中数学 第三章 导数及其应用 3.1 变化率与导数 3.1.3 导数的几何意义学案 新人教A版选修1 -1》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、3.1.3 导数的几何意义学习目标：1.理解导数的几何意义，会求曲线上某点处的切线方程．(重点)2.理解导函数的概念、会求简单函数的导函数．(重点)3.理解在某点处与过某点的切线方程的区别．(难点、易混点)[自主预习·探新知]1．导数的几何意义(1)切线的定义设点P(x0，f(x0))，Pn(xn，f(xn))是曲线y＝f(x)上不同的点，当点Pn(xn，f(xn))(n＝1,2,3,4…)沿着曲线f(x)趋近于点P(x0，f(x0))时，割线PPn趋近于确定的位置，这个确定位置的直线PT称为过点P的切线，且PT的斜率k＝＝f′(x0)．(2)导数的几何意义
2、函数y＝f(x)在点x0处的导数f′(x0)的几何意义是曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处切线的斜率，在点P处的切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)．思考：曲线的切线是不是一定和曲线只有一个交点？[提示] 不一定．曲线的切线和曲线不一定只有一个交点，和曲线只有一个交点的直线和曲线也不一定相切．如图，曲线的切线是通过逼近将割线趋于确定位置的直线．2．导函数的概念从求函数f(x)在x＝x0处导数的过程看到，当x＝x0时，f′(x0)是一个确定的数；当x变化时，f′(x)是x的一个函数，称为f(x)的导函数(简称导数)，y＝f(x)的导函数
3、有时也记作y′，即f′(x)＝y′＝.[基础自测]1．思考辨析(1)直线与曲线相切则直线与已知曲线只有一个公共点．( )(2)过曲线上的一点作曲线的切线，这点一定是切点．( )(3)若f′(x0)不存在，则曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处无切线．( )(4)函数f(x)在点x0处的导数f′(x0)与导函数f′(x)之间是有区别的．( )[答案] (1)× (2)× (3)× (4)√2．设f′(x0)＝0，则曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线( )A．不存在 B．与x轴平行或重合C．与x轴垂直D．与x轴斜交B [由f
4、′(x0)＝0知，曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线斜率为0，所以切线与x轴平行或重合．]3．如图315所示，函数y＝f(x)的图象在点P处的切线方程是y＝－x＋8，则f(5)＋f′(5)＝( )【导学号：97792127】图315A．B．1C．2D．0C [由题意知f′(5)＝－1，f(5)＝－5＋8＝3，则f(5)＋f′(5)＝2.][合作探究·攻重难]求曲线的切线方程 (1)y＝－在点处的切线方程是( )A．y＝x－2 B．y＝x－C．y＝4x－4D．y＝4x－2(2)已知曲线y＝x3－x＋2，则曲线过点P(1,2)的切线方
5、程为__________．[思路探究] (1)先求y′
6、x＝，即切线的斜率，然后写出切线方程．(2)设出切点坐标，求切线斜率，写出切线方程，利用点P(1，2)在切线上，求出切点坐标，从而求出切线方程．[解析] (1)先求y＝－在x＝处的导数：Δy＝－＋＝.y′
7、x＝＝＝＝4.所以切线方程是y＋2＝4，即y＝4x－4.(2)设切点为(x0，x－x0＋2)，则得y′
8、x＝x0＝＝((Δx)2＋3x0Δx＋3x－1)＝3x－1.所以切线方程为y－(x－x0＋2)＝(3x－1)(x－x0)．将点P(1,2)代入得：2－(x－x0＋2)＝(3x－1)(1－x0)，即(
9、x0－1)2(2x0＋1)＝0，所以x0＝1或x0＝－，所以切点坐标为(1,2)或，所以当切点为(1,2)时，切线方程为y－2＝2(x－1)，即2x－y＝0，当切点为时，切线方程为y－＝－x＋，即x＋4y－9＝0，所以切线方程为2x－y＝0或x＋4y－9＝0.[答案] (1)C (2)2x－y＝0或x＋4y－9＝0[规律方法] 1.求曲线在某点处的切线方程的步骤2.求过点(x1，y1)的曲线y＝f(x)的切线方程的步骤(1)设切点(x0，y0)(2)求f′(x0)，写出切线方程y－y0＝f′(x0)(x－x0)(3)将点(x1，y1)代入切线方程，解出x0，
10、y0及f′(x0)(4)写出切线方程．[跟踪训练]1．(1)曲线y＝f(x)＝在点(－2，－1)处的切线方程为__________．x＋2y＋4＝0 [y′＝＝＝＝－，因此曲线f(x)在点(－2，－1)处的切线的斜率k＝－＝－.由点斜式可得切线方程为y＋1＝－(x＋2)，即x＋2y＋4＝0.](2)试求过点P(3,5)且与曲线y＝x2相切的直线方程.【导学号：97792128】[解] 设所求切线的切点为A(x0，y0)．∵点A在曲线y＝x2上，∴y0＝x，又∵A是切点，y′＝＝＝2x.∴过点A的切线的斜率y′
11、x＝x0＝2x0.∵所求切线过P(3,5)和A(
12、x0，y0)两点，∴其斜率为＝.∴2x0＝，解得x0
