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《2018年秋高中数学第三章导数及其应用3.1变化率与导数3.1.3导数的几何意义学案新人教A版选修1_1201809122109》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、3.1.3 导数的几何意义学习目标：1.理解导数的几何意义,会求曲线上某点处的切线方程、(重点)2.理解导函数的概念、会求简单函数的导函数、(重点)3.理解在某点处与过某点的切线方程的区别、(难点、易混点)[自主预习·探新知]1、导数的几何意义(1)切线的定义设点P(x0,f(x0)),Pn(xn,f(xn))是曲线y＝f(x)上不同的点,当点Pn(xn,f(xn))(n＝1,2,3,4…)沿着曲线f(x)趋近于点P(x0,f(x0))时,割线PPn趋近于确定的位置,这个确定位置的直线PT称为过点P的切线,且PT的斜率k＝＝f′(x0)、(2)导数的几何意义函数y＝
2、f(x)在点x0处的导数f′(x0)的几何意义是曲线y＝f(x)在点P(x0,f(x0))处切线的斜率,在点P处的切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)、思考：曲线的切线是不是一定和曲线只有一个交点？[提示] 不一定、曲线的切线和曲线不一定只有一个交点,和曲线只有一个交点的直线和曲线也不一定相切、如图,曲线的切线是通过逼近将割线趋于确定位置的直线、2、导函数的概念从求函数f(x)在x＝x0处导数的过程看到,当x＝x0时,f′(x0)是一个确定的数；当x变化时,f′(x)是x的一个函数,称为f(x)的导函数(简称导数),y＝f(x)的导函数有时也记作y′,
3、即f′(x)＝y′＝.[基础自测]1、思考辨析(1)直线与曲线相切则直线与已知曲线只有一个公共点、( )(2)过曲线上的一点作曲线的切线,这点一定是切点、( )(3)若f′(x0)不存在,则曲线y＝f(x)在点(x0,f(x0))处无切线、( )(4)函数f(x)在点x0处的导数f′(x0)与导函数f′(x)之间是有区别的、( )[答案] (1)× (2)× (3)× (4)√2、设f′(x0)＝0,则曲线y＝f(x)在点(x0,f(x0))处的切线( )A、不存在 B、与x轴平行或重合C、与x轴垂直D、与x轴斜交B [由f′(x0)＝0知,曲线y
4、＝f(x)在点(x0,f(x0))处的切线斜率为0,所以切线与x轴平行或重合、]3、如图315所示,函数y＝f(x)的图象在点P处的切线方程是y＝－x＋8,则f(5)＋f′(5)＝( )【导学号：97792127】图315A、B、1C、2D、0C [由题意知f′(5)＝－1,f(5)＝－5＋8＝3,则f(5)＋f′(5)＝2.][合作探究·攻重难]求曲线的切线方程 (1)y＝－在点处的切线方程是( )A、y＝x－2 B、y＝x－C、y＝4x－4D、y＝4x－2(2)已知曲线y＝x3－x＋2,则曲线过点P(1,2)的切线方程为__________、[思路
5、探究] (1)先求y′
6、x＝,即切线的斜率,然后写出切线方程、(2)设出切点坐标,求切线斜率,写出切线方程,利用点P(1,2)在切线上,求出切点坐标,从而求出切线方程、[解析] (1)先求y＝－在x＝处的导数：Δy＝－＋＝.y′
7、x＝＝＝＝4.所以切线方程是y＋2＝4,即y＝4x－4.(2)设切点为(x0,x－x0＋2),则得y′
8、x＝x0＝＝((Δx)2＋3x0Δx＋3x－1)＝3x－1.所以切线方程为y－(x－x0＋2)＝(3x－1)(x－x0)、将点P(1,2)代入得：2－(x－x0＋2)＝(3x－1)(1－x0),即(x0－1)2(2x0＋1)＝0,所以x0
9、＝1或x0＝－,所以切点坐标为(1,2)或,所以当切点为(1,2)时,切线方程为y－2＝2(x－1),即2x－y＝0,当切点为时,切线方程为y－＝－x＋,即x＋4y－9＝0,所以切线方程为2x－y＝0或x＋4y－9＝0.[答案] (1)C (2)2x－y＝0或x＋4y－9＝0[规律方法] 1.求曲线在某点处的切线方程的步骤2.求过点(x1,y1)的曲线y＝f(x)的切线方程的步骤(1)设切点(x0,y0)(2)求f′(x0),写出切线方程y－y0＝f′(x0)(x－x0)(3)将点(x1,y1)代入切线方程,解出x0,y0及f′(x0)(4)写出切线方程、[跟踪训练
10、]1、(1)曲线y＝f(x)＝在点(－2,－1)处的切线方程为__________、x＋2y＋4＝0 [y′＝＝＝＝－,因此曲线f(x)在点(－2,－1)处的切线的斜率k＝－＝－.由点斜式可得切线方程为y＋1＝－(x＋2),即x＋2y＋4＝0.](2)试求过点P(3,5)且与曲线y＝x2相切的直线方程.【导学号：97792128】[解] 设所求切线的切点为A(x0,y0)、∵点A在曲线y＝x2上,∴y0＝x,又∵A是切点,y′＝＝＝2x.∴过点A的切线的斜率y′
11、x＝x0＝2x0.∵所求切线过P(3,5)和A(x0,y0)两点,∴其斜率为＝.∴2x0＝,解得x0
