2019年高考数学理科：平面向量与复数 (2)

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1、【考向解读】1.命题角度：复数的四则运算和几何意义；以平面图形为背景，考查平面向量的线性运算、平面向量的数量积.2.题目难度：复数题目为低档难度，平面向量题目为中低档难度.【命题热点突破一】平面向量的线性运算(1)在平面向量的化简或运算中，要根据平面向量基本定理选好基底，变形要有方向不能盲目转化；(2)在用三角形加法法则时要保证“首尾相接”，结果向量是第一个向量的起点指向最后一个向量终点所在的向量；在用三角形减法法则时要保证“同起点”，结果向量的方向是指向被减向量．例1、(2018·全国Ⅰ)在△ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则等于(　　)A.－B.－C.＋D.＋答案

2、　A解析　作出示意图如图所示.＝＋＝＋＝×(＋)＋(－)＝－.故选A.【方法技巧】(1)向量加法的平行四边形法则：共起点；三角形法则：首尾相连；向量减法的三角形法则：共起点连终点，指向被减.(2)已知O为平面上任意一点，则A，B，C三点共线的充要条件是存在s，t，使得＝s＋t，且s＋t＝1，s，t∈R.(3)证明三点共线问题，可转化为向量共线解决.【变式探究】【2017课标1，理13】已知向量a，b的夹角为60°，

3、a

4、=2，

5、b

6、=1，则

7、a+2b

8、=.【答案】【解析】利用如下图形，可以判断出的模长是以2为边长的菱形对角线的长度，15所以.【变式探究】如图，在△ABC中，N是AC边

9、上一点，且＝，P是BN上的一点，若＝m＋，则实数m的值为(　　)A.B.C.1D.3答案　B解析　∵＝，∴＝，∴＝m＋＝m＋.又B，N，P三点共线，∴m＋＝1，∴m＝.【变式探究】(1)设0<θ<，向量a＝(sin2θ，cosθ)，b＝(cosθ，1)，若a∥b，则tanθ＝______.(2)如图，在△ABC中，AF＝AB，D为BC的中点，AD与CF交于点E.若＝a，＝b，且＝xa＋yb，则x＋y＝________.【答案】(1)　(2)－【解析】(1)因为a∥b，15所以sin2θ＝cos2θ，2sinθcosθ＝cos2θ.因为0<θ<，所以cosθ>0，得2sinθ＝cosθ

10、，tanθ＝.方法一　因为＝a，＝b，D为BC的中点，所以＝(a＋b)．所以＝＝(a＋b)．所以＝＋＝－＋＝－b＋(a＋b)＝a－b.所以x＝，y＝－，所以x＋y＝－.方法二　易得EF＝MD，MD＝CF，所以EF＝CF，所以CE＝CF.因为＝＋＝－＋＝－b＋a，所以＝(－b＋a)＝a－b.所以x＝，y＝－，则x＋y＝－.【感悟提升】(1)对于平面向量的线性运算，要先选择一组基底；同时注意共线向量定理的灵活运用．(2)运算过程中重视数形结合，结合图形分析向量间的关系．15【变式探究】如图，在正方形ABCD中，M，N分别是BC，CD的中点，若＝λ＋μ，则λ＋μ等于(　　)A.2B.　C.

11、D.答案　D解析　方法一　如图以AB，AD为坐标轴建立平面直角坐标系，设正方形边长为1，＝，＝，＝(1，1).∵＝λ＋μ＝λ＋μ＝，∴解得故λ＋μ＝.方法二　以，作为基底，∵M，N分别为BC，CD的中点，∴＝＋＝＋，＝＋＝－，∴＝λ＋μ＝＋，又＝＋，因此解得所以λ＋μ＝.【命题热点突破二】平面向量的数量积(1)数量积的定义：a·b＝

12、a

13、

14、b

15、cosθ.(2)三个结论①若a＝(x，y)，则

16、a

17、＝＝.②若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则

18、

19、＝.15③若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ为a与b的夹角，则cosθ＝＝.例2、（2018年天津卷）如图，在平面四边形ABCD中

20、，，，，.若点E为边CD上的动点，则的最小值为A.B.C.D.【答案】A【解析】建立如图所示的平面直角坐标系，则，，，，点在上，则，设，则：，即，据此可得：，且：，，由数量积的坐标运算法则可得：15，整理可得：，结合二次函数的性质可知，当时，取得最小值.本题选择A选项.【命题热点突破四】复数的概念与运算复数运算的重点是除法运算，其关键是进行分母实数化，分子分母同时乘分母的共轭复数．对一些常见的运算，如(1±i)2＝±2i，＝i，＝－i等要熟记．例4、(2018·全国Ⅰ)设z＝＋2i，则

21、z

22、等于(　　)A.0B.C.1D.答案　C解析　∵z＝＋2i＝＋2i＝＋2i＝i，∴

23、z

24、＝1.

25、故选C.【变式探究】【2017山东，理2】已知,i是虚数单位，若，则a=（A）1或-1（B）（C）-（D）【答案】A【解析】由得，所以，故选A.【变式探究】已知，i是虚数单位，若，则的值为_______.【答案】2【解析】由，可得，所以，，故答案为2．【变式探究】(1)若复数z＝，则

26、z

27、＝(　　)A．B．C．1D．2(2)已知复数z＝(i为虚数单位)，则复数z在复平面内对应的点在(　　)A．第一象限B．第二象限15C．第三象限D．第四象限【答案】(1)C