新数值分析复习要点.ppt

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1、一.基本概念二.Gauss变换与矩阵的三角分解三.Householder变换四.矩阵的正交分解五.解线性方程组Ax=b的直接法六.解线性方程组Ax=b的迭代法数值分析复习要点七.列满秩最小二乘问题八.构造正交多项式九.连续函数的最佳平方逼近十.离散数据的最佳平方逼近十一.函数插值十二.数值积分十三.数值微分十四.非线性方程（组）的数值解法十五.常微分方程的数值解法十六.数值计算的基本思想十七.读程序一.基本概念绝对误差,相对误差,有效数字,数值稳定性等.1、设x和y的相对误差为0.001，则x*y的相对误差约为____________.。绝对

2、误差,相对误差,有效数字,数值稳定性等.4、计算y=lnx。若x20，则取x的几位有效数字可保证y的相对误差<0.1%?(1)防止相近的两数相减(2)防止大数吃小数(3)防止接近零的数做除数(4)注意计算步骤的简化,减小运算次数向量范数矩阵范数矩阵范数距离概念返回二.Gauss变换与矩阵的三角分解Gauss变换阵LU分解列主元三角分解PA=LU三.Householder变换,矩阵的相似变换返回习题四.矩阵的正交分解Schmidt正交化法P65-例2-34Householder变换法P67-例2-35五.解线性方程组的直接法系数矩阵A为哪些矩

3、阵时,可用顺序Gauss消元法求解Ax=b.何为病态矩阵,如何判别矩阵为病态矩阵.系数矩阵A为哪些矩阵时,可用列主元Gauss消元法求解Ax=b.举例说明数学稳定性与数值稳定性的区别.习题:P138—14,16.解的精度改进的常用方法.P102-105何为先验误差估计.何为事后误差估计.六.解线性方程组Ax=b的迭代法Jacobi迭代法,Gauss-Seidel迭代法,SOR松弛迭代法的分量形式,迭代矩阵,收敛条件.P110-118估计迭代次数习题:P139----20----25,27七.广义逆与列满秩最小二乘问题返回P153-----7，

4、11，13八.构造正交多项式P45----例2-28,习题:P76----23P46----例2-29,习题:P76----24九.连续函数的最佳平方逼近P205----例6-3,例6-4,习题:P223----2P208----例6-5,例6-6,习题:P224----5返回返回十.离散数据的最佳平方逼近P215----例6-9,P216----例6-10,习题:P253----6,7,8返回返回返回习题十一.函数插值事后误差分析P169P165----例5-5,例5-6P168----例5-8,P172----例5-10习题:P228--

5、--1,2,8,11,12,13返回例:已知f(x)=ex的数据点如下：（1）用x1,x2,x3构造二次Lagrange插值多项式L2(x)，并计算e1.5的近似值L2(1.5)。（2）用事后误差估计方法估计L2(1.5)的误差。xi0123exi12.71837.389120.0855L2(1.5)=4.0505基本(复化)求积公式的代数精度:梯=1辛=3柯=5十二.数值积分利用标准高斯公式求积分.P250-11(1)n个节点的高斯型求积分公式的代数精度为2n-1.P230-例7-2，P250----2,34,5,6,8,16.向前差分⊿f

6、i=fi+1-fi称为f(x)在点xi处的一阶向前差分。⊿nfi=⊿n-1fi+1-⊿n-1fi称为f(x)在点xi处的n阶向前差分。向后差分▽fi=fi-fi-1称为f(x)在点xi处的一阶向后差分。▽nfi=▽n-1fi-▽n-1fi-1称为f(x)在点xi处的n阶向后差分。中心差分δfi=fi+1/2-fi-1/2称为f(x)在点xi处的一阶中心差分。δnfi=δn-1fi+1/2-δn-1fi-1/2称为f(x)在点xi处的n阶中心差分。十三.差分、差商、数值微分若f(x)为n次多项式，则⊿nf(xi)、▽nf(xi)、δnf(xi)

7、为常数，⊿n+1f(xi)、▽n+1f(xi)、δn+1f(xi)为零。若f(x)为n次多项式，则f[x0，x1，…，xn]为常数，f[x0，x1，…，xn，xn+1]为零。会推导截断误差十四.非线性方程（组）的数值解法要求会构造收敛的迭代格式P259----例8-5习题P279----1，2，5，7掌握牛顿迭代格式及其变形习题P280----3，9压缩映射原理,收敛定理，局部收敛性，收敛阶例:证明对任何初值，由迭代公式所产生的序列,都收敛于方程的根。（1）先考虑区间[-1，1]，当时，对任何初值，由迭代公式所产生的序列,都收敛于方程的根。（

8、2）对任何初值，有将此看成新的迭代初值，则由（1）可知，由迭代公式所产生的序列,都收敛于方程的根。例：求解方程，可以构造一个迭代格式其中c为非零的常数，（1）当c取