数值分析期末复习要点总结.ppt

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1、期末复习要点总结数值分析12第一章误差第一章误差一.误差的来源:1.模型误差2.观测误差3.截断误差4.舍入误差二.绝对误差、相对误差和有效数字23为准确值x的一个近似值，称绝对误差、相对误差和有效数字若的绝对误差限，简称误差限.通常称为近似值定义2设(1-3)记为即准确值之比为近似值为近似值的绝对误差，简称误差.(1-1)称绝对误差与为准确值x的近似值，的相对误差，(1-2)定义1设3由于在计算过程中准确值x总是未知的，绝对误差、相对误差和有效数字故一般取相对误差为则称为的相对误差限.使得(1-4)如果存在正数4如果近似值准确到小数点

2、后第n位,并从第一个非零数字到这一位的所有数字均称为有效数字.绝对误差、相对误差和有效数字有效数字的误差限是则称取前八位数得近似值例如，取前四位数得1.414有4位有效数字.1.4142136有8位有效数字.56(1-5)一般地，如果近似值其中m为整数，绝对误差、相对误差和有效数字为0到9之间的整数.如果(1-6)则称近似值有n位有效数字.例如有4位有效数字.故的规格化形式为67绝对误差、相对误差和有效数字若x的近似值至少具有n位有效数字.有n位有效数字，则误差限.反之，的相对误差定理1.1为其相对满足若则78(1-12)(1-11)(

3、1-13)数值计算中误差的传播8例设近似数是某真值x经四舍五入所得,试求其绝对误差限和相对误差限.解由于a经四舍五入得到,故9910例1:2,求数值计算中误差的传播1.经四舍五入得试问它们有几位有效数字？的绝对误差限.解故分别具有5位有效数字1011数值计算中误差的传播例2:要使的近似值的相对误差限小于0.1%,应取取几位有效数字解:的首位数是2,设近似数有n位有效数字,只须取n使即取n=4,即取4位有效数字,近似值的相对误差限小于0.1%.11数值计算中的一些原则1.避免两个相近的数相减2.避免大数“吃”小数的现象3.避免除数的绝对值

4、远小于被除数的绝对值4.要简化计算，减少运算次数，提高效率5.要有数值稳定性,即能控制舍入误差的传播例如为提高数值计算精度,当正数x充分大时,应将改写为1212例如何计算下列函数值才比较精确(1)对解(1)要使计算准确,应避免两个相近的数相减(2)对(2)要使计算准确,应避免两个相近的数相减故变换所给公式故变换所给公式1213第二章插值已知函数y=f(x)在[a,b]上有定义，且已经测得在点ax0

5、=1,2,...,n则称P(x)为f(x)的插值函数插值区间插值节点求插值函数P(x)的方法就称为插值法插值节点无需递增排列，但必须确保互不相同！插值条件14基函数法通过基函数来构造插值多项式的方法就称为基函数插值法Zn(x)={次数不超过n的多项式的全体}记n+1维线性空间设z0(x),z1(x),...,zn(x)构成Zn(x)的一组基，则插值多项式P(x)=a0z0(x)+a1z1(x)+···+anzn(x)寻找合适的基函数确定插值多项式在这组基下的表示系数基函数法基本步骤15Lagrange插值Lagrange插值基函数设lk

6、(x)是n次多项式，在插值节点x0,x1,…,xn上满足则称lk(x)为节点x0,x1,…,xn上的拉格朗日插值基函数16线性与抛物线插值两种特殊情形n=1线性插值多项式（一次插值多项式）n=2抛物线插值多项式（二次插值多项式）17例：已知函数y=lnx的函数值如下解：x0.40.50.60.70.8lnx-0.9163-0.6931-0.5108-0.3567-0.2231试分别用线性插值和抛物线插值计算ln0.54的近似值线性插值：取x0=0.5,x1=0.6得将x=0.54代入可得：ln0.54L1(0.54)=-0.6202为

7、了减小截断误差，通常选取插值点x邻接的插值节点18抛物线插值：取x0=0.4,x1=0.5,x2=0.6,可得ln0.54L2(0.54)=-0.6153ln0.54的精确值为：-0.616186···可见，抛物线插值的精度比线性插值要高Lagrange插值多项式简单方便，只要取定节点就可写出基函数，进而得到插值多项式，易于计算机实现。19Lagrange插值l0(x),l1(x),…,ln(x)构成Zn(x)的一组基性质注意l0(x),l1(x),…,ln(x)与插值节点有关，但与函数f(x)无关lk(x)的表达式由构造法可得20

8、误差估计如何估计误差插值余项定理设f(x)Cn[a,b](n阶连续可微)，且f(n+1)(x)在(a,b)内存在，则对x[a,b]，有其中x(a,b)且与x有关,21插值余项余项公式只有当f(x)