数值分析总复习大纲.ppt

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1、总复习一、绪论1.掌握绝对误差、绝对误差限、相对误差、相对误差限及有效数字的概念。掌握误差限和有效数字之间的关系。会计算误差限和有效数字。2.了解数值计算中应注意的一些问题.一般地,凡是由精确值经过四舍五入得到的近似值,其绝对误差限等于该近似值末位的半个单位。定义1设数x是数x*的近似值，如果x的绝对误差限是它的某一数位的半个单位，并且从x左起第一个非零数字到该数位共有n位，则称这n个数字为x的有效数字，也称用x近似x*时具有n位有效数字。二、解线性方程组的直接法1.了解Gauss消元法的基本思想,知道适用范围2.掌握矩阵

2、的直接三角分解法。顺序Gauss消元法:矩阵A的各阶顺序主子式都不为零.主元Gauss消元法:矩阵A的行列式不为零.定理设n阶方阵A的各阶顺序主子式不为零,则存在唯一单位下三角矩阵L和上三角矩阵U使A=LU.会对矩阵进行Doolittle分解(LU)、LDM分解、Crout分解(TM)及Cholesky分解(GGT)。了解它们之间的关系。熟练掌握用三角分解法求方程组的解。了解平方根法和追赶法的思想。3.了解向量和矩阵的范数的定义,会判定范数(三要素非负性、齐次性、三角不等式);会计算几个常用的向量和矩阵的范数；了解范数的等

3、价性和向量矩阵极限的概念。4.了解方程组的性态，会计算简单矩阵的谱半径和条件数。三、解线性方程组的迭代法1.会建立J-法、G-S法、SOR法的迭代格式；会判定迭代方法的收敛性。（1）迭代法收敛迭代矩阵谱半径小于1.（2）迭代法收敛的充分条件是迭代矩阵的范数小于1.（3）A严格对角占优,则J法,GS法,SOR法(0<1)收敛.（4）A对称正定,则GS法,SOR法(0<<2)收敛.J_法收敛的充分必要条件是2D-A也正定.2.掌握并会应用迭代法的误差估计式。四、解非线性方程的迭代法1.了解二分法的思想,误差估计式

4、xk

5、-

6、2-(k+1)(b-a).2.会建立简单迭代法迭代格式；会判定迭代方法的收敛性。整体收敛若1.a(x)b;2.

7、(x)

8、L<1,x[a,b].则xk+1=(xk),x0[a,b]都收敛于方程的唯一根.局部收敛若

9、()

10、<1,则对充分接近的初值x0,迭代法xk+1=(xk)收敛.3.了解迭代法收敛阶的概念,会求迭代法收敛的阶.(1)xkp阶收敛于是指:(2)若()0,则迭代法线性收敛.4.会建立Newton迭代格式；知道Newton迭代法的优缺点.了解Newton迭代法

11、的变形.局部平方收敛.(3)若()=()=…=(m-1)()=0,但(m)()0,则迭代法是m阶收敛的.五、矩阵特征值问题1.了解Gerschgorin圆盘定理,会估计特征值.2.了解乘幂法、反幂法的思想及加速技巧.3.了解Jacobi方法的思想以及平面旋转矩阵的构造.六、插值与逼近1.了解差商的概念和性质.Lagrange、Newton、Hermite插值多项式；基函数法及待定系数法。2.会建立插值多项式并导出插值余项.3.了解分段插值及三次样条插值的概念及构造思想。会构造简单的三次样条插值函数.4

12、.了解正交多项式的概念，会求简单的正交多项式。5.掌握最小二乘法的思想，会求拟合曲线及最佳均方误差.1.了解求积公式的一般形式及插值型求积公式的构造.掌握梯形公式和Simpson公式及其误差。2.掌握求积公式的代数精度的概念，会用待定系数法确定求积公式。七、数值积分5.了解微分公式建立形式，会求简单的微分公式。4.了解Gauss公式的概念，会建立简单的Gauss公式。3.会用复化梯形公式和复化Simpson公式计算积分并会用误差估计式.1.了解构造数值解法的基本思想及概念。第八章常微分方程数值解法2.掌握差分公式局部截断误

13、差和阶的概念，会求差分公式的局部截断误差。3.会判断单步方法的收敛性和稳定性，求稳定区间。如差分公式的局部截断误差为O(hp+1),则称p阶方法.定理设单步方法的增量函数(x,y,h)关于y满足Lipschitz条件,则方法是收敛的.若单步方法用于试验方程为:yn+1=g(h)yn,则方法的绝对稳定区域是:

14、g(h)

15、<1.