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1、数值分析复习大纲编者：向穗华时间：2010.5教材：《数值分析（第5版）》.李庆扬，王能超等编著.2008年12月第5版.第1章数值分析与科学计算引论1.1知识要点总结1.x：准确值2.：近似值3.：绝对误差4.：误差限5.：相对误差6.：相对误差7.具有n位有效数字，则：8.误差误差限9.误差，则数值稳定2110.计算函数值问题的条件数，则问题是变态的。11.避免误差危害，防止有效数字损失，通常要避免两相近数相减和用绝对值很小的数做除数，还要注意运算次序和减少运算次数。12.秦九韶，求和由由1.2课后习题参考
2、答案1．设,的相对误差为，求的误差。解：令的相对误差为的误差为所以，的误差为2．设的相对误差为2%，求的相对误差。解：令的相对误差为2%的相对误差为所以，的相对误差为0.02n213．下列各数都是经过四舍五入得到的近似数，即误差限不超过最后一位的半个单位，试指出它们是几位有效数字：,,,,解：是5位有效数字；是2位有效数字；是4位有效数字；是5位有效数字；是2位有效数字。4．利用公式(2.3)求下列各近似值的误差限：(1),(2),(3).其中均为第3题所给的数。解：215计算球体积要使相对误差限为1％，问度量
3、半径R时允许的相对误差限是多少？解：令球体体积函数的相对误差限为1％所以，度量半径R时允许的相对误差限是0.33％6．设，按递推公式（n=1,2,…）计算到。若取（5位有效数字），试问计算将有多大误差？解：……依次代入后，有即，若取,的误差限为。217．求方程的两个根，使它至少具有4位有效数字（）。解：，故方程的根应为故具有5位有效数字具有5位有效数字9．正方形的边长大约为100cm，应怎样测量才能使其面积误差不超过？解：令正方形的面积函数为正方形的边长大约为100cm的误差为所以，测量中边长误差限不超过0.0
4、05cm时，才能使其面积误差不超过11．序列满足递推关系(n=1,2,…),若（三位有效数字），计算到时误差有多大？这个计算过程稳定吗？解：设的误差为，的近似值为21计算到时误差为这个计算过程不稳定12．计算，取，利用下列等式计算，哪一个得到的结果最好？,,，。解：设，条件数为，设，条件数为设，条件数为设，条件数为可见，最小通过计算后得到的结果最好。2113．,求的值。若开平方用6位函数表，问求对数时误差有多大？若改用另一等价公式。计算，求对数时误差有多大？解：令，则当x＝30时y＝0.0167所以，误差为令，
5、，则当x＝30时z＝59.9833所以，误差为14．用秦九韶算法求多项式在x＝3处的值。解：由15．用迭代法求方程的正根21，取，计算到，问有几位有效数字。解：所以，有2位有效数字21第2章插值法2.1知识要点总结1.n次插值多项式：2.已知n＋1个点拉格朗日插值多项式，为n次插值基函数。性质：3.令4.拉格朗日插值余项5.牛顿均差插值多项式均差216.牛顿均差插值余项7.8.埃尔米特插值（1）已知，，求插值余项：（2）已知，求详细的计算方法请参见教材P37－382.2课后习题参考答案1.当时，,求的二次插值多
6、项式。（2）用拉格朗日插值基底（3）用牛顿基底解：（2）21则二次拉格朗日插值多项式为（3）略。2.给出的数值表X0.40.50.60.70.8lnx-0.916291-0.693147-0.510826-0.356675-0.223144用线性插值及二次插值计算的近似值。解：由表格知，若采用线性插值法计算即，则21若采用二次插值法计算时，3.给全的函数表，步长若函数表具有5位有效数字，研究用线性插值求近似值时的总误差界。解：求解近似值时，误差可以分为两个部分，一方面，x是近似值，具有5位有效数字，在此后的计算
7、过程中产生一定的误差传播，记为；另一方面，利用插值法求函数的近似值时，采用的线性插值法插值余项不为0，也会有一定的误差，记为。因此，总误差界的计算应综合以上两方面的因素。当时，令取当时，线性插值多项式为函数表具有5位有效数字21插值余项为设，则，,，最大值为6.在上给出的等距节点函数表，若用二次插值求的近似值，要使截断误差不超过，问使用函数表的步长h应取多少？解：若插值节点为和，则分段二次插值多项式的插值余项为21设步长为h，即令，则设当时，得在处有顶点，若截断误差不超过，则8.求及。解：若则2114.求次数小
8、于等于3的多项式P（x），使其满足条件解：令则，次数小于等于3为三次式令由得b＝1由得a＝2令由得a＋b＝1由得3a＋2b＝0a＝－2b＝3令则由得a＝121令则由得a＝116.求一个次数不高于4次的多项式P（x），使它满足解：利用埃米尔特插值可得到次数不高于3的多项式设其中，A为待定常数从而21第3章函数逼近与快速傅里叶变换3.1知识要点总结1.称为连续函数空间称为具有p阶连续导数的
