数值分析课后习题答案

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1、习题一解答1．取3.14，3.15，，作为π的近似值，求各自的绝对误差，相对误差和有效数字的位数。分析：求绝对误差的方法是按定义直接计算。求相对误差的一般方法是先求出绝对误差再按定义式计算。注意，不应先求相对误差再求绝对误差。有效数字位数可以根据定义来求，即先由绝对误差确定近似数的绝对误差不超过那一位的半个单位，再确定有效数的末位是哪一位，进一步确定有效数字和有效数位。有了定理2后，可以根据定理2更规范地解答。根据定理2，首先要将数值转化为科学记数形式，然后解答。解：（1）绝对误差:e(x)=π－3.14＝3.14159265…－3.14＝0.00159…≈0.0016。相对误差：有

2、效数字：因为π＝3.14159265…=0.314159265…×10，3.14＝0.314×10，m=1。而π－3.14＝3.14159265…－3.14＝0.00159…所以│π－3.14│＝0.00159…≤0.005=0.5×10－2＝所以，3.14作为π的近似值有3个有效数字。（2）绝对误差:e(x)=π－3.15＝3.14159265…－3.14＝－0.008407…≈－0.0085。相对误差：有效数字：因为π＝3.14159265…=0.314159265…×10，3.15＝0.315×10，m=1。而π－3.15＝3.14159265…－3.15＝－0.008407…

3、所以│π－3.15│＝0.008407……≤0.05=0.5×10－1＝所以，3.15作为π的近似值有2个有效数字。（3）绝对误差:相对误差：22有效数字：因为π＝3.14159265…=0.314159265…×10，，m=1。而所以所以，作为π的近似值有3个有效数字。（4）绝对误差:相对误差：有效数字：因为π＝3.14159265…=0.314159265…×10，，m=1。而所以所以，作为π的近似值有7个有效数字。指出：①实际上，本题所求得只能是绝对误差限和相对误差限，而不是绝对误差和相对误差。②为简单计，本题相对误差没有化为百分数。22③在求出绝对误差后，按定义求有效数字是基

4、本功，必须掌握。绝对不允许有了定理后就不会根据定义讨论。因此，本类问题的解答应当是两种方法都熟练掌握的。实际上，根据基本概念分析讨论问题始终是最重要的方法，由于不同的作者会提出不同的定理系统，因此，掌握根据最本元的定义讨论问题的方法是非常重要的。④祖冲之（公元429年─公元500年）是我国杰出的数学家，科学家。南北朝时期人，汉族人，字文远。生于宋文帝元嘉六年，卒于齐昏侯永元二年。祖籍范阳郡遒县（今河北涞水县）。在世界上最早计算出π的真值在3.1415926（朒数）和3.1415927（盈数）之间，相当于精确到小数第7位，这一纪录直到15世纪才由阿拉伯数学家阿尔.卡西打破。祖冲之还给出

5、π的两个分数形式：（约率）和（密率），其中密率精确到小数第7位，在西方直到16世纪才由荷兰数学家奥托重新发现，比祖冲之晚了一千多年，数学史学界主张称“密率”为“祖率”。⑤近似数的有效数字只能是有限位。⑥近似数的误差分析中采用近似数x而不是其准确数，准确数是未知的。⑦常出现德错误是，第一，不进行具体计算，结果不可靠；第二，两个分数近似值（尤其第二个）取的数位不够，结果有效数位计算错误；第三，认为分数就是精确数，就有无穷多有效数字。2、用四舍五入原则写出下列各数的具有五位有效数字的近似数。346．7854，7．000009，0．0001324580，0．600300分析：本题实际上指出，

6、按要求截取的近似数符合有效数字定义，相关数位上的数字都是有效数字。解答方法简单，直接写出就可以，不需要也不应该做形式转化（化为科学计数法形式）解：346．7854≈346．79，7．000009≈7．0000，0．0001324580≈0．00013246，0．600300≈0．60030。指出：注意0。只要求写出不要求变形。3、下列各数都是对准确数进行四舍五入后得到的近似数，试分别指出他们的绝对误差限和相对误差限和有效数字的位数。。22分析：首先，本题的准确数未知，因此绝对误差限根据四舍五入规则确定。其次，应当先求绝对误差限，再求相对误差限，最后确定有效数字个数。有效数字由定义可以

7、直接得出。解：由四舍五入的概念，上述各数的绝对误差限分别是由绝对误差和相对误差的关系，相对误差限分别是有效数字分别有3位、4位、4位、4位。指出：本题显然是直接指出有效数位、直接写出绝对误差，用定义求出相对误差。4.计算的近似值，使其相对误差不超过0.1％。解：设取n个有效数字可使相对误差小于0.1％，则，而，显然，此时，，即，也即所以，n=4。此时，。5、在计算机数系F(10,4,-77,77)中，对，试求它们的机器浮点数及其相对误差。解：其相对误差分别