数值分析课后习题答案

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1、第一章题12给定节点，，，，试分别对下列函数导出拉格朗日插值余项：（1）（1）      （2）（2）      解　（1），由拉格朗日插值余项得；（2）由拉格朗日插值余项得.题15证明：对于以，为节点的一次插值多项式，插值误差.证　由拉格朗日插值余项得，其中，.题22采用下列方法构造满足条件，的插值多项式：（1）（1）      用待定系数法；（2）（2）      利用承袭性，先考察插值条件，的插值多项式.解　（1）有四个插值条件，故设，，代入得方程组解之，得；（2）先求满足插值条件，的插值多项式，由0为二重零点，可设，代入，得，；再求满足插值条件，的插值多项式，可设，，代入，得，.

2、题33设分段多项式是以为节点的三次样条函数，试确定系数的值.解　由得，；，由得，；联立两方程，得，且此时，，是以为节点的三次样条函数.题35用最小二乘法解下列超定方程组：.解　记残差的平方和为令，得，解之得.题37用最小二乘法求形如的多项式，使与下列数据相拟合：192531384419.032.349.073.397.8 解　拟合曲线中的基函数为，，其法方程组为，其中，，，，，解之得，.第二章题3确定下列求积公式中的待定参数，使其代数精度尽量地高，并指明求积公式所具有的代数精度：（2）      （2）从结论“在机械求积公式中，代数精度最高的是插值型的求积公式”出发，，，，，当时，有左边

3、＝，右边＝，左边＝右边，当时，有左边＝，右边＝，左边≠右边，所以该求积公式的代数精度为3.题8已知数据表1.11.31.53.00423.66934.4817试分别用辛甫生法与复化梯形法计算积分.解　辛甫生法；复化梯形法.题17用三点高斯公式求下列积分值.解　先做变量代换，设，则＝.第三章用欧拉方法求解初值问题，：（1）      试导出近似解的显式表达式；解　（1）其显示的Euler格式为：故将上组式子左右累加，得题10选取参数、，使下列差分格式具有二阶精度：.解　将在点处作一次泰勒展开，得代入，得而考虑其局部截断误差，设，比较上两式，当，时，. 第四章题2证明方程有且仅有一实根；试确

4、定这样的区间，使迭代过程对一切均收敛.解　设，则在区间上连续，且，，所以在上至少有一根；又，所以单调递增，故在上仅有一根.迭代过程，其迭代函数为，，，；，，由压缩映像原理知，均收敛.注这里取为区间，也可取为区间等.题5考察求解方程的迭代法（１）（１）  证明它对于任意初值均收敛；（２）  证明它具有线性收敛性；证　（1）迭代函数为，，；又，由压缩映像原理知，均收敛；（2）（否则，若，则，不满足方程），所以迭代具有线性收敛速度；题7求方程在附近的一个根，证明下列两种迭代过程在区间上均收敛：（１）（１）  改写方程为，相应的迭代公式为；（２）（２）  改写方程为，相应的迭代公式为.解　（1）

5、，迭代公式为，其迭代函数为，，；又，　，，由大范围收敛定理知，均收敛；（2），迭代公式为，其迭代函数为，，；又，，，由大范围收敛定理知，均收敛.题5分别用雅可比迭代与高斯-塞德尔迭代求解下列方程组：（2）其雅可比迭代格式为，取初始向量，迭代发散；其高斯-塞德尔迭代格式为，取初始向量，迭代发散.第六章题2用主元消去法解下列方程组）解　（2）对其增广矩阵进行列主元消元得回代求解上三角方程组得，所以.