数值分析课后答案1

数值分析课后答案1

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1、第一章习题解答1设x>0,x的相对误差限为δ,求lnx的误差。*解:设x的准确值为x,则有**(

2、x–x

3、/

4、x

5、)≤δ所以****e(lnx)=

6、lnx–lnx

7、=

8、x–x

9、×

10、(lnx)’

11、x=ξ·≈(

12、x–x

13、/

14、x

15、)≤δ另解:*****e(lnx)=

16、lnx–lnx

17、=

18、ln(x/x)

19、=

20、ln((x–x+x)/x)

21、****=

22、ln((x–x)/x+1)

23、≤(

24、x–x

25、/

26、x

27、)≤δ2设x=–2.18和y=2.1200都是由准确值经四舍五入而得到的近似值。求绝对误差限ε(x)和ε(y)。解:

28、e(x)

29、=

30、e(–2.18)

31、≤0.005,

32、e(y)

33、=

34、e

35、(2.1200)

36、≤0.00005,所以ε(x)=0.005,ε(y)=0.00005。3下近似值的绝对误差限都是0.005,问各近似值有几位有效数字x1=1.38,x2=–0.0312,x3=0.00086解:根据有效数字定义,绝对误差限不超过末位数半个单位。由题设知,x1,x2,x3有效数末位数均为小数点后第二位。故x1具有三位有效数字,x2具有一位有效数字,x3具有零位有效数字。4已知近似数x有两位有效数字,试求其相对误差限。–2解:

37、er(x)

38、≤5×10。5设y0=28,按递推公式yn=yn-1–783/100(n=1,2,⋯)计算到y100。若取783≈2

39、7.982(五位有效数字),试问,计算y100将有多大的误差?解:由于初值y0=28没有误差,误差是由783≈27.982所引起。记x=27.982,δ=x−783。则利用理论准确成立的递推式yn=yn-1–783/100和实际计算中递推式Yn=Yn-1–x/100(Y0=y0)两式相减,得e(Yn)=Yn–yn=Yn-1–yn-1–(x–783)/100所以,有e(Yn)=e(Yn-1)–δ/100利用上式求和100100∑e(Yn)=∑e(Yn−1)−δn=1n=1化简,得e(Y100)=e(Y0)–δ=δ所以,计算y100的误差界为−4ε(Y)≤δ=0.5×0.

40、001=5×10100226求方程x–56x+1=0的两个根,问要使它们具有四位有效数字,D=b−4ac至少要取几位有效数字?如果利用韦达定理,D又应该取几位有效数字?2解:在方程中,a=1,b=–56,c=1,故D=56−4≈55.96427,取七位有效数字。1由求根公式2−b+b−4ac−56+55.96427−0.03573x===12a22具有四位有效数字,而2−b−b−4ac−56−55.96427−111.96427x===22a22则具有八位有效数字。如果利用韦达定理,首先计算出x2,利用12x==1x56+562−422计算,只需取D=56−4≈55.

41、96四位有效数字即可保证方程的两个根均具有四位有效数字。此时有,x1=0.01786,x2=55.98。127设s=gt,假定g是准确的,而对t的测量有±0.1秒的误差,证明当t增加时s的绝2对误差增加,而相对误差减小。证明由于e(s)=gte(t),er(s)=2e(t)/t。而

42、e(t)

43、≤0.1,所以,对这一问题,当t增加时s的绝对误差增加,而相对误差减小。8序列{yn}满足递推关系yn=10yn-1–1(n=1,2,⋯⋯)。若取y0=2≈1.41(三位有效数字),按上述递推公式,从y0计算到y10时误差有多大?这个计算过程稳定吗?解取x0=1.41,记e(x0

44、)=1.41–2。根据xn=10xn-1–1(n=1,2,⋯⋯)得e(xn)=10e(xn-1)(n=1,2,⋯⋯,10)所以10e(x10)=10e(x0)108从y0计算到y10时误差估计为:

45、e(x10)

46、=10

47、e(x0)

48、≤0.5×10。这是一个数值不稳定的算法。29f(x)=ln(x−x−1),求f(30)的值,若开平方用六位函数表,问求对数时误差有多大?若改用另一等价公式22ln(x−x−1)=−ln(x+x−1)计算,求对数时误差有多大?2解令y=x−x−1,则当x=30时,y=30–29.9833=0.0167有三位有效数字,其相对-3-3误差为10

49、。由第一题结论,求对数时误差为10。2若改用等价公式,令z=x+x−1,则当x=30时,y=30+29.9833=59.9833有六-6-6位有效数字,其相对误差为10。由第一题结论,求对数时误差为10。ni10已知有求和式∑∑aibji==11j(1)试统计需要用多少次乘法和加法才能计算出该和式的值;(2)为了减少计算工作量,将和式作等价变换,变换后需要多少次乘法和加法。解(1)所用乘法次数:1+2+3+⋯⋯+n=n(n+1)/2,2加法次数:[0+1+2+⋯⋯+(n–1)]+(n–1)=(n+2)(n–1)/2;ni(2)将和式等价变形为:∑∑[

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