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1 第一章第一章 习题解答习题解答 1 设x0,x的相对误差限为δ,求 ln x 的误差。 解:设 x的准确值为x*,则有 ( | x – x* | /|x*| ) ≤ δ 所以 e(ln x)=| ln x – ln x* | =| x – x* | ×| (ln x)’|x=ξ·≈ ( | x – x* | / | x*| ) ≤ δ 另解: e(ln x)=| ln x – ln x* | =| ln (x / x*) | = | ln (( x – x* + x*)/ x*) | = | ln (( x – x* )/ x* + 1) |≤( | x – x* | /|x*| ) ≤ δ 2 设 x = – 2.18 和 y = 2.1200 都是由准确值经四舍五入而得到的近似值。求绝对误差限 ε( x ) 和 ε( y ) 。 解:| e(x) | = |e(– 2.18)|≤ 0.005,| e(y) | = |e( 2.1200)|≤ 0.00005,所以 ε( x )=0.005, ε( y ) = 0.00005。 3 下近似值的绝对误差限都是 0.005,问各近似值有几位有效数字 x1=1.38,x2= –0.0312,x3= 0.00086 解:根据有效数字定义,绝对误差限不超过末位数半个单位。由题设知,x1,x2, x3有效 数末位数均为小数点后第二位。故x1具有三位有效数字,x2具有一位有效数字,x3具有零 位有效数字。 4 已知近似数x 有两位有效数字,试求其相对误差限。 解:| er(x) | ≤ 5 × 10– 2 。 5 设 y0 = 28,按递推公式 yn = yn-1 – 783/ 100 ( n = 1,2,?) 计算到y100。若取 ≈78327.982 (五位有效数字) ,试问,计算 y100 将有多大的误差? 解:由于初值 y0 = 28 没有误差,误差是由≈78327.982 所引起。记 x = 27.982, 783?= xδ。则利用理论准确成立的递推式 yn = yn-1 – 783/ 100 和实际计算中递推式 Yn = Yn-1 – x / 100 (Y0 = y0) 两式相减,得 e( Yn) = Yn – yn = Yn-1 – yn-1 – ( x – 783)/ 100 所以,有 e( Yn) = e( Yn-1) – δ / 100 利用上式求和 δ?=∑ ∑ = ? = 100 1 1 100 1 )()( n n n n YeYe 化简,得 e( Y100) = e( Y0) – δ = δ 所以,计算y100 的误差界为 4 100 105001. 05 . 0)( ? ×=×=≤δεY 6 求方程 x2 – 56x + 1 = 0的两个根,问要使它们具有四位有效数字,D=acb4 2 ?至少 要取几位有效数字? 如果利用韦达定理,D 又应该取几位有效数字? 解:在方程中,a = 1,b = – 56,c = 1,故 D=4562?≈55.96427,取七位有效数字。 2 由求根公式 2 03573. 0 2 96427.5556 2 4 2 1 ? = +? = ?+? = a acbb x 具有四位有效数字,而 2 96427.111 2 96427.5556 2 4 2 2 ? = ?? = ??? = a acbb x 则具有八位有效数字。 如果利用韦达定理,首先计算出x2,利用 45656 21 2 2 1 ?+ == x x 计算,只需取 D=4562?≈55.96 四位有效数字即可保证方程的两个根均具有四位有效数 字。此时有,x1=0.01786,x2=55.98。 7 设 2 2 1 gts =,假定g是准确的,而对t的测量有±0.1 秒的误差,证明当t 增加时s的绝 对误差增加,而相对误差减小。 证明 由于e(s) = g t e(t),er(s) = 2 e(t) / t。而 | e(t)|≤0.1,所以,对这一问题,当t 增加 时s的绝对误差增加,而相对误差减小。 8 序列{ yn }满足递推关系 yn = 10yn-1 – 1 (n = 1,2,??)。若取 y0 = 2≈1.41(三 位有效数字) ,按上述递推公式,从y0计算到y10时误差有多大?这个计算过程稳定吗? 解 取 x0 = 1.41,记 e(x0) = 1.41 –2。根据 xn = 10xn-1 – 1 (n = 1,2,??) 得 e(xn) = 10e(xn-1) (n = 1,2,??,10) 所以 e(x10) = 1010e(x0) 从y0计算到y10时误差估计为: |e(x10)| = 1010 |e(x0)| ≤0.5×108。 这是一个数值不稳定的算法。 9 )1ln()( 2 ??=xxxf,求f(30) 的值,若开平方用六位函数表,问求对数时误差有多 大?若改用另一等价公式 )1ln()1ln( 22 ?+?=??xxxx 计算,求对数时误差有多大? 解 令 1 2 ??=xxy,则当 x=30 时,y=30 – 29.9833=0.0167 有三位有效数字,其相对 误差为 10-3。由第一题结论,求对数时误差为 10-3。 若改用等价公式,令1 2 ?+=xxz,则当x=30 时,y=30 + 29.9833= 59.9833 有六 位有效数字,其相对误差为 10-6。由第一题结论,求对数时误差为 10-6。 10 已知有求和式∑∑ == n i i j jib a 11 (1) 试统计需要用多少次乘法和加法才能计算出该和式的值; (2) 为了减少计算工作量,将和式作等价变换,变换后需要多少次乘法和加法。 解 (1)所用乘法次数:1+2+3+??+n = n( n+ 1) / 2, 3 加法次数:[0+1+2+??+ (n – 1)]+( n – 1) = ( n + 2 ) ( n – 1) / 2; (2)将和式等价变形为:∑ ∑ == n i i j ji ba 11 ][ 所用乘法为 n 次,加法次数不变,仍为( n + 2 ) ( n – 1) / 2。 11 试构造一个算法,对输入的数据 x0,x1,x2,??,xn,以及x(均为实数) ,算法输出 为 ( x –x0) ( x –x1) ( x –x2)??( x –xn) 的计算结果。 解 算法如下: 第一步:输入x;x0,x1,x2,??,xn,M ? (x – x0 );k ? 0; 第二步:M ? M×(x – x0 );k ? k+1; 第三步:判断,若 k ≤ n,则转第二步;否则输出M,结束。 12 利用级数公式L+?+?= 7 1 5 1 3 1 1 4 π 可计算出无理数π 的近似值。由于交错级数的部 分和数列Sn 在其极限值上下摆动,故截断误差将小于第一个被舍去的项的绝对值 | an+1|。 试分析,为了得到级数的三位有效数字近似值,应取多少项求和。 解 由部分和 ∑ = ? ? ?= n k k n k S 1 1 12 1 ) 1( 知,截断误差满足 12 1 | 4 | + ≤? n Sn π 显然,为了得到三位有效数字的近似值,绝对误差限应该为 0.0005 = 5×10-4。只需令 2000 1 10000 5 12 1 =≤ +n 所以,当n≥1000 时,部分和至少有三位有效数字。
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