数值分析课后答案1.pdf

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1、第一章习题解答1设x>0，x的相对误差限为δ，求lnx的误差。*解：设x的准确值为x，则有**(

2、x–x

3、/

4、x

5、)≤δ所以****e(lnx)=

6、lnx–lnx

7、=

8、x–x

9、×

10、(lnx)’

11、x=ξ·≈(

12、x–x

13、/

14、x

15、)≤δ另解：*****e(lnx)=

16、lnx–lnx

17、=

18、ln(x/x)

19、=

20、ln((x–x+x)/x)

21、****=

22、ln((x–x)/x+1)

23、≤(

24、x–x

25、/

26、x

27、)≤δ2设x=–2.18和y=2.1200都是由准确值经四舍五入而得到的近似值。求绝对误差限ε(x)和ε(y)

28、。解：

29、e(x)

30、=

31、e(–2.18)

32、≤0.005，

33、e(y)

34、=

35、e(2.1200)

36、≤0.00005，所以ε(x)=0.005，ε(y)=0.00005。3下近似值的绝对误差限都是0.005，问各近似值有几位有效数字x1=1.38，x2=–0.0312，x3=0.00086解：根据有效数字定义，绝对误差限不超过末位数半个单位。由题设知，x1，x2，x3有效数末位数均为小数点后第二位。故x1具有三位有效数字，x2具有一位有效数字，x3具有零位有效数字。4已知近似数x有两位有效数字，试求其相对误

37、差限。–2解：

38、er(x)

39、≤5×10。5设y0=28，按递推公式yn=yn-1–783/100(n=1，2，⋯)计算到y100。若取783≈27.982（五位有效数字），试问，计算y100将有多大的误差？解：由于初值y0=28没有误差，误差是由783≈27.982所引起。记x=27.982，δ=x−783。则利用理论准确成立的递推式yn=yn-1–783/100和实际计算中递推式Yn=Yn-1–x/100(Y0=y0)两式相减，得e(Yn)=Yn–yn=Yn-1–yn-1–(x–783)/100

40、所以，有e(Yn)=e(Yn-1)–δ/100利用上式求和100100∑e(Yn)=∑e(Yn−1)−δn=1n=1化简，得e(Y100)=e(Y0)–δ=δ所以，计算y100的误差界为−4ε(Y)≤δ=0.5×0.001=5×10100226求方程x–56x+1=0的两个根，问要使它们具有四位有效数字，D=b−4ac至少要取几位有效数字？如果利用韦达定理，D又应该取几位有效数字？2解：在方程中，a=1，b=–56，c=1，故D=56−4≈55.96427，取七位有效数字。1由求根公式2−b+b−

41、4ac−56+55.96427−0.03573x===12a22具有四位有效数字，而2−b−b−4ac−56−55.96427−111.96427x===22a22则具有八位有效数字。如果利用韦达定理，首先计算出x2，利用12x==1x56+562−422计算，只需取D=56−4≈55.96四位有效数字即可保证方程的两个根均具有四位有效数字。此时有，x1=0.01786，x2=55.98。127设s=gt，假定g是准确的，而对t的测量有±0.1秒的误差，证明当t增加时s的绝2对误差增加，而相对误差

42、减小。证明由于e(s)=gte(t)，er(s)=2e(t)/t。而

43、e(t)

44、≤0.1，所以，对这一问题，当t增加时s的绝对误差增加，而相对误差减小。8序列{yn}满足递推关系yn=10yn-1–1(n=1，2，⋯⋯)。若取y0=2≈1.41（三位有效数字），按上述递推公式，从y0计算到y10时误差有多大？这个计算过程稳定吗？解取x0=1.41，记e(x0)=1.41–2。根据xn=10xn-1–1(n=1，2，⋯⋯)得e(xn)=10e(xn-1)(n=1，2，⋯⋯，10)所以10e(x10)

45、=10e(x0)108从y0计算到y10时误差估计为：

46、e(x10)

47、=10

48、e(x0)

49、≤0.5×10。这是一个数值不稳定的算法。29f(x)=ln(x−x−1)，求f(30)的值，若开平方用六位函数表，问求对数时误差有多大？若改用另一等价公式22ln(x−x−1)=−ln(x+x−1)计算，求对数时误差有多大？2解令y=x−x−1，则当x=30时，y=30–29.9833=0.0167有三位有效数字，其相对-3-3误差为10。由第一题结论，求对数时误差为10。2若改用等价公式，令z=x+x−1

50、，则当x=30时，y=30+29.9833=59.9833有六-6-6位有效数字，其相对误差为10。由第一题结论，求对数时误差为10。ni10已知有求和式∑∑aibji==11j（1）试统计需要用多少次乘法和加法才能计算出该和式的值；（2）为了减少计算工作量，将和式作等价变换，变换后需要多少次乘法和加法。解（1）所用乘法次数：1+2+3+⋯⋯+n=n(n+1)/2，2加法次数：[0+1+2+⋯⋯+(n–1)]+(n–1)=(n+2)(n–1)/2；ni（2）将和式等价变形为：∑∑[