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1、第一章习题解答1.解:?1=1.1021,?2=0.031,?3=56.430,误差限不超过最后一位的半个单位,则
2、??
3、=
4、?*−?
5、≤0.00005=?,
6、??
7、=
8、?*−?
9、≤0.0005=?,
10、??
11、=
12、?*−?
13、≤111122223330.0005=?3.注意:求的是误差限,而不是误差!误差是求不出来的。(1)?=2?−?+?=2×1.1021−0.031+56.430=58.6032=0.586032×102,1123?1是关于?1,?2,?3的线性函数,则
14、??
15、=
16、?*−?
17、=
18、2??−??+??
19、≤2
20、??
21、+
22、??
23、+
24、??
25、≤2?+?+?=0.001
26、1=1111231231230.11×10−2≤0.5×10−2,所以,此式的误差限为0.11×10−2,有效数字位数=2+2=4.(2)?=???=1.1021×0.031×56.430=1.927936593=0.1927936593×101,?是关于?,?,2123212?3的非线性函数,则⃒⃒3(︂)︂⃒⃒⃒∑︁??⃒
27、??2
28、≈⃒???⃒=
29、?2?3??1+?1?3??2+?1?2??3
30、⃒???⃒?=1≤
31、?2
32、
33、?3
34、
35、??1
36、+
37、?1
38、
39、?3
40、
41、??2
42、+
43、?1
44、
45、?2
46、
47、??3
48、≤
49、?2
50、
51、?3
52、?1+
53、?1
54、
55、?3
56、?2+
57、?1
58、
59、?2
60、?3−1=0.
61、03120030055=0.3120030055×10−1≤0.5×10所以,此式的误差限为0.3120030055×10−1,有效数字位数=1+1=2.(3)?=?/?=0.031/56.430≈0.549353181×10−3,?是关于?,?的非线性函数,则323323⃒⃒3(︂)︂⃒⃒⃒∑︁??⃒⃒⃒(1/?2⃒⃒
62、??2
63、≈⃒???⃒=3)??2−(?2/?3)??3⃒???⃒?=1⃒⃒≤
64、(1/?)
65、
66、??
67、+⃒(?/?2)⃒
68、??
69、32233⃒⃒≤
70、(1/?)
71、?+⃒(?/?2)⃒?32233−5−4≈0.88654027395×10≤0.5×10所以,此式的
72、误差限为0.88654027395×10−5,有效数字位数=−3+4=1.(︀)︀2.解:?=4??3,绝对误差??≈??·??=4??2·??,3??相对误差??4??2·???????≈?=43=3?=3?????3?的相对误差限为1%,即
73、???
74、≈
75、3???
76、≤1%,则
77、???
78、≤1%/3≈0.3333%,所以,度量半径?允许的相对误差限是0.3333%.14.设精确值?*=10?*−1,由?=10?−1,得??−1??−1误差?=?*−?=10(?*−?)=10?=...=10??,????−1?−1?−10√从而，?=1010?=(2−1.41)×1010≈0
79、.421×108.100误差相当大！因此，这个计算过程数值不稳定。5.解:用计算器得?(0.01)的真值约为0.50167084167949....使用6位有效数字计算,意味着每一步计算结果保留6位有效数字.第一种公式计算:??≈1.01005,??−1−?≈0.00005??−1−?≈0.500000?2??=?*−?≈0.167084×10−2,11第二种公式计算:−2?/6≈0.166667×10,2−5?/24≈0.416667×101??2++≈0.5016712624??=?*−?≈−0.158321×10−6,22从而,第二种公式计算更精确.因为第一种公式中
80、出现了相近数相减,会使相对误差增大.6.解：√当
81、?
82、≈?2−4??时，分成两种情况讨论:√1)当?>0时，计算求根公式中?=−?+?2−4??会出现相近的数相减，等价公式中?=12?2√−2?会出现相近的数相减和分母接近于0，此时会使舍入误差增大。?−?2−4??当?>0时，改进的方法：(1)分子有理化：求根公式中?1的分子分母同时乘以分子的有理化因式，再化简，就可以避免相近的数相减的现象。此时，求根公式中?恰好化为等价公式中的?=√−2?,从而应该用等11?+?2−4??价公式中的?1来计算；(2)分母有理化：?2的分子分母同时乘以分母的有理化因式，再化简，就可以避免
83、相近的数相√减和分母接近于0两种现象。此时，等价公式中?恰好化为求根公式中的?=−?−?2−4??,从而应222?该用求根公式中的?2来计算。2)当?<0时，计算等价公式中?1会出现相近的数相减和分母接近于0，求根公式中?2会出现相近的数相减，此时会使舍入误差增大。当?<0时，改进的方法正好和?>0时的方法相反：应该选取求根公式中的?1和等价公式中的?2来计算.27.解:用三位尾数的浮点数计算(每一步计算结果保留三位尾数),(1)按?的递增顺序,∑︁51=1+0.0625+0.01234567901235+0.00390625
