数值分析课后答案

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1、1、解：将按最后一行展开，即知是n次多项式。由于，故知，即是的根。又的最高次幂的系数为。故知6、解：（1）设当时，有对构造插值多项式，其，介于之间，故即特别地，当时，。（2）。7、证明：以为节点进行线性插值，得因，故。而，。故。14、解：设，，记，则由差商的性质知，介于之间。当时，，当时，，故16、解：根据差商与微商的关系，有，。（是7次多项式，故）。25、解：（1）右边=====左边。（2）左边==-==右边例2.5求满足（）及的插值多项式及其余项表达式。解：由给定条件，可确定次数不超过3的插值多项式，由于此多项式通过点（），（）及（），故其形式为其中A为待定常数，可由条件确定，通过计

2、算可得设其中为待定函数。构造。显然（j=0,1,2),且，，故在内有五个零点。反复应用定理得，在内至少有一个零点，故，则，余项表达式为，其中位于和所界定的范围内定理2.2设在上连续，在内存在，节点，是满足条件式的插值多项式，则对于任何，插值余项。其中且依赖于，三、例3.5已知一组实验数据如表所示，求拟合曲线1234544.5688.521311解：在坐标纸上标出所给数据，如图所示，从图中可看到，各点分布在一条直线附近，故可选择线性函数作拟合曲线。令，这里m=4,n=1,,,故，，，，由式得方程组，解得于是所求拟合曲线为四、1、（1）求积公式中含有三个待定参数，即将，x,分别代入求积公式，

3、并令其左右相等，得解得，。所求公式至少具有2次代数精度。又由于故具有三次代数精度。（2）、求积公式中含有三个待定系数，故令公式对，x,准确成立，得解得，故因，而，又，所以求积公式只具三次代数精度。6、证明：由于在上可积，故由定积分的定义可知，对的任一分划所作黎曼和的极限存在。该积分对于零距分划和特殊当然成立。复化梯形公式为，。则复化公式为则课本85页复化求积法及其收敛性复化梯形公式为，依式(4.2.5),其积分余项为则复化公式为=则五、7、证明如下公式对任意参数t是二阶公式证明：设，，则，所以在处的展开式可写为又则在处的展开式为得局部截断误差故所给的公式对任意参数t是二阶公式。二阶方法：

4、计算格式具有如下形式：式中含有三个待定系数，其中，所以。因此只要成立式子（1）就具有二阶精度第八章定理4（迭代法收敛的充分条件）如果方程组的迭代公式为（为任意初始向量），且迭代矩阵的某一种范数=q<1,则1.迭代法收敛；2.；3.；8-8解：方程组的系数矩阵：A==++=L+D+U(a)解此方程组的雅可比迭代阵====0得=0，，=，则=0.5（b）解此方程组的G-S迭代矩阵为====0得，则=0.5<1(c)由（a），（b）计算可知，<1,<1,故解此方程组的Jacobi迭代和G-S迭代都收敛。8-14解A是对称的，若A正定，则其各阶顺序主子式应大于0，即=1->0所以-1

5、1-a)(1+a-)>0所以-0.5

6、证：由条件数的定义及矩阵范数的相容性，有Cond(AB)===cond(A)cond(B)6-9（研究求的Netwon公式。。。。。。。是单调递减的）解因a>0,>0,故>0,k=1,2---.对任意k0，=（+）=（-+，因此对一切k1，均有。利用这一结果，得==++=1即，单调递减。根据单调有界原理知，收敛。6-14解当f(x)=-a=0时，因（x)=n,故Newton迭代公式为=-=+，k=0,1,---当f（x)=1-时，因（x）=，故Newton迭代公式为=-=-+=，k=0,1---对f(x)=-a=0====对f（x）=1-=0，同样可得