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1、数值分析总复习2010-2-bit.代数精确度设有求积公式若它对f(x)=1,x,x2,…,xm都能精确成立(即上式等号成立),但对f(x)=xm+1上式等号不成立,则称该求积公式具有m次代数精确度.2复化梯形公式其中截断误差3Gauss型求积公式Ak:求积系数,{xk}:求积节点如果该求积公式具有(2n-1)阶代数精确度,则称其为Gauss型求积公式.设有求积公式7区间[-1,1]上的Guass型求积公式其中求积节点{xk}为n阶Legendre多项式的零点;Ak,xk的值可查表得到.一般[a,b]上的Gauss型求积公式可用换元法转化成[-1,1]上的Gau
2、ss型求积公式.8第八章非线性方程解法二分法(对分区间法)求f(x)=0的根简单迭代法(收敛的充分条件)牛顿法割线法9设[a,b]是f(x)=0的有根区间,用二分法迭代给定精度,迭代次数k满足下式,能保证满足精度二分法(对分区间法)10简单迭代法构造递推公式适当选取.以逐次逼近f(x)=0的根.如何构造收敛的迭代法?11定理考虑方程x=g(x),g(x)C[a,b],若(I)当x[a,b]时，g(x)[a,b]；(II)0L<1使得
3、g’(x)
4、L对x[a,b]成立。则任取x0[a,b]，由xk+1=g(xk)得到的序列收敛于g(x)在[
5、a,b]上的唯一不动点。并且有误差估计式：(k=1,2,…)k12牛顿法原理：将非线性方程线性化(Taylor展开)xyx*xnxn+113第九章常微分方程数值解法构造常微分方程离散格式的三种方法单步法常见格式多步法常见格式重要概念:局部截断误差14用差商近似导数数值积分方法Taylor多项式近似方法构造常微分方程离散格式的三种方法15Euler法改进Euler法经典四阶RK方法单步法常见格式16多步法常见格式Simpson公式Adams显隐公式Adams预测--校正公式17局部截断误差整体截断误差Taylor展开方法几个重要概念
6、数值方法的阶数18数值分析总复习例题19分析对称其中li为矩阵L的第i个行向量.一.用平方根法求线性方程组AX=b,其中20解:一.用平方根法求线性方程组AX=b,其中21一.用平方根法求线性方程组AX=b,其中解:22解:先解Ly=b,再解LTx=y,一.用平方根法求线性方程组AX=b,其中23二.设有方程组写出Jacobi迭代,Gauss-Seidel迭代的计算公式,两种迭代法是否收敛?为什么?Jacobi迭代法不收敛,Gauss-Seidel迭代法,=1.2的SOR迭代法收敛.24三.按下表求f(x)的四次Hermite插值多项式H(x),并写出截断误差R(x)=
7、f(x)H(x)的表达式.0121210125四.(1)求形如的求积公式,使其至少具有两次代数精确度,该公式是否具有三次代数精确度?解(1)由已知,当f(x)分别为1,x,x2时,求积公式等号成立.即故该公式具有3次代数精确度.26四.(2)选用合适的数值积分方法计算的近似值,要求计算结果具有3位有效数字.解设f(x)=cos(x2),xk=k/8(k=0,1,…,8),fk=f(xk),则f0=1f1=0.999877932f2=0.998047511f3=0.990128588f4=0.968912422f5=0.924671261f6=0.845924499f7=
8、0.720949381f8=0.540302306梯形值序列T1=0.770151152T2=0.869531786T4=0.895758895T8=0.902332842Simpson值序列S2=0.902658664S4=0.904501264S8=0.904524157梯形值序列的逐次分半算法故27五.设(1)用迭代公式求方程f(x)=0在x0=2.0附近的一个根,试问此迭代法是否收敛?(2)用合适的方法求f(x)=0在x0=2.0附近的根,要求计算结果具有4位有效数字.解(1)迭代函数为验证g(x)在区间[1.7,2.0]上满足压缩映像定理,故该迭代法收敛.(2)可
9、用Newton迭代法求根,取x0=2.0,写出迭代公式后计算三次得x1=1.857142857,x2=1.839544514,x3=1.839286811.故x3即为所求方程近似根.28六.确定求解初值问题的二步隐式Adams方法中的参数,使该方法成为三阶方法,并写出其局部截断误差主项.可用数值积分方法或Taylor展开方法29七.据资料记载,某地某年间间隔30天的日出日落时间如下5月1日5月31日6月30日4:514:174:1619:3819:50日出日落19:04日出日落时间表请问:这一年中哪一天白天最"长
