3_2特殊矩阵,方阵的行列式.ppt

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1、第二节特殊矩阵方阵乘积的行列式线性代数一.特殊矩阵及其运算性质1.单位矩阵形如的n阶方阵称为n阶单位矩阵.记为En,简记为E.该方阵的特点是主对角线上的元素都是1,其他元素都是0.其第i行第j列的元素为易证单位矩阵在矩阵乘法运算中的作用与数1在数的乘法运算中的作用类似。规定2.数量矩阵形如的n阶方阵称为n阶数量矩阵.记作显然这说明n阶数量矩阵与任一n阶方阵A相乘可交换。3.对角矩阵形如的n阶方阵称为n阶对角矩阵.记作显然对角矩阵有如下性质:即对角矩阵具有如下性质其中为正整数例1设其中为正整数解而因数量矩阵与可交换,所以利用二项式定理

2、得:上三角矩阵下三角矩阵三角矩阵4.三角矩阵上三角矩阵的特点是主对角线下方的元素全为0.下三角矩阵的特点是主对角线上方的元素全为0.*表示主对角线上方的元素.若A，B为同阶同结构的三角矩阵,则仍为同阶同结构的三角矩阵.可以验证：定义把矩阵的行换成同序数的列得到的新矩阵，叫做的转置矩阵，记作.如5.转置矩阵转置矩阵的运算性质例2已知解法1解法2定义设为阶方阵，如果满足，即那么称为对称矩阵.6.对称矩阵和反对称矩阵对称矩阵对称阵的元素以主对角线为对称轴对应相等。说明对角矩阵,数量矩阵,单位矩阵都是对称矩阵。对称矩阵的基本性质（A,B为同阶

3、矩阵）(1)如果,都是对称矩阵,则仍是对称矩阵,其中为任意常数.(2)如果,都是对称矩阵,则为对称矩阵的充要条件是如果,都是对称矩阵,则为对称矩阵的充要条件是例3设是一个矩阵,则和都是对称矩阵.例4设列矩阵满足证明:如果即则称为反对称矩阵.定义反对称矩阵反对称矩阵的主对角线上的元素全为零，以主对角线为对称轴的对应元素绝对值相等,符号相反。证明:但AB未必是反对称矩阵.如反对称矩阵的基本性质（A,B为同阶矩阵）例5设是阶反对称矩阵,是阶对称矩阵,则是阶反对称矩阵.证明:因为所以是阶反对称矩阵例6证明任一阶矩阵都可表示成对称阵与反对称阵之

4、和.证明所以C为对称矩阵.所以B为反对称矩阵.命题得证.二、方阵的行列式定义由阶方阵的元素所构成的行列式，叫做方阵的行列式，记作或运算性质(4)设为阶方阵,则1.方阵的行列式例7若是阶方阵,且满足则证明因为所以即定义行列式的各个元素的代数余子式所构成的如下矩阵性质称为矩阵的伴随矩阵.当时,三.伴随矩阵证明(1)则故同理可得(2)由(1)可知由于所以特殊矩阵方阵行矩阵与列矩阵;单位矩阵;对角矩阵;零矩阵；数量矩阵；三角矩阵；对称矩阵和反对称矩阵.五、小结转置矩阵方阵的行列式运算规律伴随矩阵