矩阵行列式复习.ppt

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1、二、三阶行列式三阶行列式二阶行列式引入记号称为二阶行列式，它代表数即对角线法则引入记号，称为三阶行列式，即对角线法则性质1行列式与它的转置行列式相等.称为行列式的转置行列式.行列式的性质性质2互换行列式的任意两行（列）,行列式变号.说明行列式中行与列具有同等的地位,因此行列式的性质凡是对行成立的对列也同样成立.用表示行列式的第行，用表示的第列。则表示交换的第行和第行，表示交换的第列和第列。例如性质3行列式的某一行（列）中所有的元素都有一个公因子，则可以把公因子提到行列式记号之外，即有推论如果行列式中有两行（列）对应元素完全相同，则此行列式为零.证明互换相同的两行，有推论1用数乘以行列式等于中某

2、一行（列）所有元素同乘以数。例如：推论3：若行列式D的某行(列)元素全为零，则D=0。推论2：若行列式D中有两行(列)元素成比例，则D=0。例如例如注意：做题时容易忽略。性质4若行列式D的第i行（列）各元素都是两数之和：，则行列式可分解为两个行列式与的和，即例如：⑴⑵(×)0性质5将行列式D的某一行（列）各元素的k倍加到另一行(列)对应的元素上去，行列式的值不变．例如行列式的计算计算行列式常用方法：利用运算　　　把行列式化为上三角行列式，从而得到行列式的值．例1计算行列式解余子式与代数余子式在n阶行列式中，划去元素所在的第i行和第j列后得到的n-1阶行列式称为元素的余子式，记作。叫做元素的代数

3、余子式。记，例如行列式按行（列）展开法则定理行列式等于它的任一行（列）各元素与其对应的代数余子式乘积之和，即注：利用该定理可把n阶行列式化为n-1阶行列式计算。按第二列展开例如按第一行展开例计算利用展开法则计算行列式例.计算解：线性变换定义已知个数若变量能用变量线性地表示，即称之为从变量到变量的线性变换，其中称为系数矩阵。例如线性方程组若记则方程组可以简记为矩阵乘法的应用：可以把复杂的问题简化再例如若已知线性变换求到的线性变换。分析：如果直接代入很麻烦，若记则这两个线性变换可以简记为则到变换为求出AB即可。解：例设求（其中k是正整数）。设则故例已知矩阵，又矩阵A=BTC，又解：利用矩阵乘法满足

4、结合律求An。对于n阶方阵，其行列式的各个元素的代数余子式所构成的如下方阵称为方阵A的伴随矩阵。重要性质：例，判断A是否可逆,若可逆求A-1。解：∴A可逆。①注意A*中元素的排序，Aij前面的正负号；注：②可验证结论是否正确；③此方法常用于二、三阶方阵的求逆。例已知三阶矩阵A的行列式，则解由，得，所以，所以线性方程组的有关概念Cramer法则线性方程组利用逆矩阵求解线性方程组线性方程组的消元法代表n个未知数；称为i行j列的系数；线性方程组的一般形式为一、线性方程组的有关概念或简写为称为常数项或右端项。其中1.齐次与非齐次若常数项b1=b2=…=bm=0，则称方程组为齐次线性方程组。若b1，b2

5、，…，bm不全为0，则称方程组为非齐次线性方程组。2.解、有解、无解若线性方程组的解存在，则称它是有解的或相容的，否则称为无解(或不相容，或矛盾的)。若取未知数代入方程组后各方程为恒等式，则是方程组的解。3.通解、同解线性方程组的解的全体称为解集合(可能是空集)。能代表解集合中任一元素的表达式称为通解或一般解。如果两个线性方程组有相同的解集合，则称它们是同解的。4.零解与非零解齐次线性方程组必有解，因为x1=x2=…=xn=0就是它的解，称之为零解。如果有一组不全为零的数是齐次方程组的解，则称之为非零解。如果线性方程组的系数行列式，则方程组有惟一解其中第j列二、Cramer法则例1用Crame

6、r法则解方程组解齐次线性方程组的相关定理的系数行列式D≠0，则该方程组只有零解。定理如果齐次线性方程组推论：若齐次线性方程组(见上)有非零解，则系数行列式D=0。(系数行列式D=0是齐次线性方程组有非零解的充要条件)证易知，故证毕有非零解？例2问取何值时，齐次线性方程组解由定理的推论知，该线性方程组系数行列式为0，即所以或时,齐次方程组有非零解.若记则方程组可以简记为三、利用逆矩阵求解线性方程组对于n个方程n个未知数的线性方程组，若，则有其中，.分析所以Cramer法则例3利用逆矩阵求解线性方程组解令所以有,又因为，所以可求得所以四、线性方程组的消元法非齐次线性方程组齐次线性方程组一、非齐次线

7、性方程组：系数矩阵为增广矩阵为(1)(2)这里，非齐次线性方程组（1）和增广矩阵是一一对应的。从求解线性方程组的消元法知消元过程有：交换某两个方程的位置；用一个非零的数乘某一个方程；某一方程的若干倍加到另一个方程上去。我们可以用矩阵的初等行变换来求解线性方程组。增广矩阵新增广矩阵同解方程组定理：对于非齐次线性方程组(1)，有当时，(1)无解;当时，(1)有惟一解;当时，(1)有无穷多解.推论：Ax