行列式、矩阵复习提纲

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1、行列式、矩阵复习提纲一、行列式的概念1．二阶行列式二阶行列式是特定算式的一种记法：即。如记号叫做一个二阶行列式，它的展开式为，即（对角线法则）。它用于解二元一次方程组。系数行列式，，若，则方程组有唯一解；若，且中至少有一个不为零，则方程组无解；若，则方程组有无穷所组解。（此时两个方程其实就是一个方程，它的解可以借助一个参数来表示）例题：例1.函数的定义域是。例2．解不等式的最大值是：或。例3．直线的倾斜角。2．三阶行列式三阶行列式是在二阶行列式的基础上，由两行两列拓展出来的，它保持了行数和列数相等的特点，用九个数摆成三行三列这样一个方阵：。本教材用带单下标的

2、符号表示，这样可以形象的反映它所在行和列的位置：它的展开式依然按对角线展开：例题1：若行列式，则的值为。例题2：计算。三阶行列式的运用：（1）可求三角形面积：在直角坐标系内，若的三个顶点为那么（要带绝对值的！教材里是“如图”所指定的的摆放）（2）可证明三点共线在直角坐标系内，若那么三点共线的充要条件是（3）可以用来解三元一次方程组：系数行列式和、、。若，则方程组有唯一解；若，且中至少有一个不为零，则方程组无解；若，则方程组有无穷多组解。（这时的情况有点复杂，有时侯其实是一个方程，也有时其实是两个方程，教材这里不要求了。我们只要知道原方程组有无穷多组解就好了。

3、）例题：例1．已知不重合的三点，，。（1）求顶点为，，的的面积；（2）说明的几何意义；（3）若定点，不重合，动点满足，求动点的轨迹方程.解：（1）；（2）三点，，共线；（3）过，两点的直线，方程为已知数列是首项为，公差的等差数列，则方程组解的情况必为（C）（A）惟一解（B）无解（C）无穷多解（D）以上均有可能（3）三阶行列式转化为二阶行列式---余子式、代数余子式、按某行或某列展开三阶行列式中，元素的余子式是划去所在的行和列，剩下的元素保持原来的位置关系而组成的一个二阶行列式。如元素的余子式是；元素的余子式是。把余子式添上相应的符号（正号省略），叫做代数余子

4、式，如元素的代数余子式是、元素的代数余子式是。三阶行列式按第三列展开：。例题例1．把表示成三阶行列式的形式：（答案不唯一）。例2．行列式中元素的代数余子式是。例3．把表示成一个三阶行列式：。二、矩阵的概念将个数写成行、列的一个矩形数表，如叫做一个阶矩阵。矩阵中的每一行都是矩阵的一个行向量，每一列都是矩阵的一个列向量。1．矩阵变换（1）互换矩阵的两行；（2）把某一行同乘（或除）以一个非零的数；（3）某一行乘以一个数加到另一行。2．运用矩阵变换解二元一次方程组叫做方程组的增广矩阵，叫做方程组的系数矩阵，解二元一次方程组就是通过某些变换使系数矩阵变为对角线元素都是

5、1、其余元素为0的矩阵，在系数矩阵变化的过程中，增广矩阵随之变化，最后，增广矩阵的最后一列给出的就是方程组的解。例题：用矩阵变换解二元一次方程组.答案：3．矩阵的运算（1）两个阶矩阵可以进行加法、减法运算：（2）实数与矩阵的乘法：（3）矩阵的乘法：例题例1．已知矩阵，，求矩阵，使得.解：设，则即，解得.例2．探索矩阵乘法的交换率：（1）已知，，计算、，并观察二者的关系；（2）已知（其中），矩阵满足，求矩阵；（3）已知，，若、，求、.解：（1）；（2）设，则，由矩阵相等得：，，记，则当时，，从而；当时，，满足条件的矩阵不存在。如已知，则.也可以.（3），，，.

6、例3．探讨矩阵和行列式运算的异同：（1）计算；计算；计算，从中你能发现两者的异同吗？（2）两个行列式之间相乘可以按照矩阵乘法法则进行吗？说明你的结论；（3）求证：解：（1）；；，行列式的加减法可以对某一行（列）进行：（2）可以，用二阶行列式证明（3）；例4．把一个矩阵A的行列互换所得到的矩阵叫做矩阵A的转置，记做.例如：对于，.（1）若，，分别求和；（2）若，，分别求和；（3）分别观察第（1）、（2）题的结论，试推广转置矩阵的两个性质（不必证明）.解：（1）==；（2）==；（3）转置矩阵有以下两个性质：=；=.