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1、主讲教师:王升瑞高等数学第二十二讲1第四节一、多元复合函数求导法则三、隐函数求导公式多元复合函数与隐函数求导法则第七章二、多元复合函数的全微分2一元复合函数求导法则微分法则3一、多元复合函数求导的链式法则定理.若函数处偏导数连续,在点t可导,则复合函数且有链式法则中间变量是一元函数的情形若定理中说明:偏导数连续减弱为偏导数存在,则定理结论不一定成立.4推广:1)中间变量多于两个的情形.例如,设下面所涉及的函数都可微.2)中间变量是多元函数的情形.例如,53)中间变量只有一个的情形例如:注:由于是一元函数,则它对的导数应该采用一
2、元函数的导数记号例1.设求全导数解:6又如,当它们都具有可微条件时,有注意:这里表示固定y对x求导,表示固定v对x求导口诀:分段用乘,分叉用加,单路全导,叉路偏导与不同,7下列两个例题有助于称为混合偏导数在计算时注意合并同类项!设掌握这方面问题的求导技巧。常用导数符号8例1.设解:9例2.解:10求例311例4已知连续,求解12例5求解f具有二阶连续偏导数,13为简便起见,引入记号例6.设f具有二阶连续偏导数,求解:令则14例7已知解:15二、多元复合函数的全微分设函数的全微分为可见无论u,v是自变量还是中间变量,则复合函数都
3、可微,其全微分表达形式都一样,这性质叫做全微分形式不变性.16例1.利用全微分形式不变性再解解:所以17例2.设解法一:利用公式有18例2.设解法二:利用微分形式的不变性有19解例3.已知20本节讨论:1)方程在什么条件下才能确定隐函数.例如,方程当C<0时,能确定隐函数;当C>0时,不能确定隐函数;2)在方程能确定隐函数时,研究其连续性、可微性及求导方法问题.例:已知二元方程求解法一:显式求导法解法二:隐式求导法方程两边同时对求导.现学习了多元函数、偏导数的概念和多元复合函数的求导法，就能给出一元隐函数的求导定理及一般求导公
4、式。21三、隐函数求导法则定理1.设函数则方程单值连续函数y=f(x),并有连续(隐函数求导公式)定理证明从略，仅就求导公式推导如下：①具有连续的偏导数;的某邻域内可唯一确定一个在点的某一邻域内满足②③满足条件导数22两边对x求导在的某邻域内则23解令则例124例2.方程解:令求可确定一个函数2526两边对x求导两边再对x求导令x=0,注意此时导数的另一求法—利用隐函数求导代入导数方程得27定理2.若函数的某邻域内具有连续偏导数,则方程在点并有连续偏导数定一个单值连续函数z=f(x,y),定理证明从略,仅就求导公式推导如下:满
5、足①在点满足:②③某一邻域内可唯一确28两边对x求偏导同样可得则29解法一利用隐函数求导公式设例3是由方程所确定，30例3解法二:利用微分形式的不变性有是由方程所确定，31例4:设解:利用微分形式的不变性有是由方程所确定，32例5.设解法1利用隐函数求导再对x求导是由方程所确定，33解法2利用公式设则两边对x求偏导例5.设是由方程所确定，34内容小结1.复合函数求导的链式法则“分段用乘,分叉用加,单路全导,叉路偏导”例如,2.全微分形式不变性不论u,v是自变量还是因变量,353.若函数的某邻域内具有连续偏导数,则有连续偏导数①
6、在点满足:②③36作业P4471；2;3；4;5；6;7(3)(4);8（1)(4);9;10;11；12；1337
