第九章 Laplace变换.ppt

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1、第九章Laplace变换§9.2Laplace变换的性质§9.1Laplace变换的概念§9.3Laplace逆变换§9.4Laplace变换的应用求解常微分方程（组）1§9.1Laplace变换的概念一、Laplace变换的定义二、存在性定理三、几个常用函数的Laplace变换2一、Laplace变换的定义s的某一区域内收敛，即如果对于则称为的Laplace变换相应地，称为的Laplace逆变换或像原函数，设函数是定义在上的实值函数，定义复参数积分在复平面记为或像函数，记为的Laplace变换就

2、是的Fourier变换。注P213定义9.13例要点进行积分时，确定s的取值范围，保证积分存在。P213例9.1P216例9.34二、存在性定理则象函数在半平面上一定存在且解析。(1)在任何有限区间上分段连续；(2)具有有限的增长性，即存在常数c及，使得，设函数当时，满足：定理(其中，c称为函数的“增长”指数)。P215定理9.1即只要复数s的实部足够大就可以了。5四、几个常用函数的Laplace变换(2)[](1)[1]=[](4)[]6四、几个常用函数的Laplace变换解(3)(2)[](1

3、)[1](3)[]=[](4)[]7四、几个常用函数的Laplace变换解(5)(2)[](4)[](5)[](1)[1](3)[]=[]8(2)[](4)[](5)[](1)[1](3)[]=[]四、几个常用函数的Laplace变换(6)[]解(5)9(2)[](4)[](5)[](1)[1](3)[]=[]四、几个常用函数的Laplace变换(6)[]特点变换的结果均为分式函数。10§9.2Laplace变换的性质一、线性性质与相似性质二、延迟性质与位移性质三、微分性质四、卷积的概念11一、线

4、性性质与相似性质1.线性性质P216P216记则有设为常数，2.相似性质P217则有设为实数，12解已知像函数例求13二、延迟性质与位移性质1.延迟性质则对任一非负实数有设当t<0时性质P222P222可见，在利用本性质求逆变换时应为：因此，本性质也可以直接表述为：注意在延迟性质中专门强调了当t<0时这一约定。14根据延迟性质有设求例解由于P223例9.13修改15二、延迟性质与位移性质1.延迟性质则对任一非负实数有设当t<0时性质P222P222为任一复常数，则设性质2.位移性质P223例如16

5、三、微分性质性质1.导数的象函数▲P217P217一般地，有Laplace变换的这一性质非常重要，可用来求解微分方程(组)的初值问题。§9.4将专门介绍）（17三、微分性质2.象函数的导数性质一般地，有P218根据象函数的导数性质有解已知P219例9.8求函数例的Laplace变换。18四、卷积的概念当时，如果函数满足：按照上一章中卷积的定义，两个函数的卷积是指则有P224Laplace变换中的卷积形式。19部分基本性质汇总线性性质相似性质延迟性质20微分性质部分基本性质汇总位移性质求函数练习的L

6、aplace变换。21根据位移性质有解已知再由象函数的导数性质有求函数练习的Laplace变换。22§9.3Laplace逆变换一、反演积分公式——Laplace逆变换公式二、求Laplace逆变换的方法23一、反演积分公式——Laplace逆变换公式1.公式推导函数的Laplace变换就是函数的Fourier变换，即在的连续点t处，有(2)根据Fourier逆变换，(1)由Laplace变换与Fourier变换的关系可知，推导24一、反演积分公式——Laplace逆变换公式1.公式推导在的连续点

7、t处，有(2)根据Fourier逆变换，推导(3)将上式两边同乘并由有即得反演积分公式P227(9.16)式25二、求Laplace逆变换的方法1.留数法利用留数计算反演积分。则设函数除在半平面内有有限个孤立奇点定理且当时，外是解析的，P227定理9.2为事实上，在复平面s上的有限孤立奇点。26二、求Laplace逆变换的方法2.查表法利用Laplace变换的性质，并根据一些已知函数的Laplace变换来求逆变换。大多数情况下，象函数常常为(真)分式形式：其中，P(s)和Q(s)是实系数多项式。由

8、于真分式总能进行部分分式分解，因此，利用查表法很容易得到象原函数。常用27二、求Laplace逆变换的方法2.查表法几个常用函数的Laplace变换(2)[](4)[](5)[](1)[1](3)[]=[](6)[]利用位移性质常用28(重根)(1)解方法一利用查表法求解1-1-1有(2)由P228例9.17已知像函数例求29解方法二利用留数法求解(1)分别为的一阶与二阶极点，(2)P228例9.17已知像函数例求30§9.4Laplace变换的应用及综合举例一、求解常微分方程(组