复变函数-laplace变换课件.ppt

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1、第九章拉普拉斯变换1.Laplace变换的概念2.Laplace变换的性质4.Laplace变换的简单应用§9.1Laplace变换3..Laplace逆变换一、Laplace变换的概念(1)解：所以，求函数例2.解：这个积分当Re(s-k)>0时收敛，而且例3解：若函数f(t)满足下列条件：Laplace变换的存在定理在半平面Re(s)>C上一定存在，并且F(s)在Re(s)>C内是解析函数。则f(t)的Laplace变换二、Laplace变换的性质1.线性性质若为常数,则例1.同理可得3.微分性质(1)象原函数的微分性质推论一般地，有

2、解：由微分性质有：即注意到所以例3.求解微分方程解：对方程两端取Laplace变换，并利用线性性质及微分性质，有其中，代入初值，即得(2)象函数的微分性质同理可得：解：由象函数的微分性质可知解：4.积分性质象函数的积分性质：或一般地，有解：由象函数积分性质，有再由积分性质，可得4.位移性质解：利用位移性质及公式：5.延迟性质t由延迟性质，有解：由于解：由于所以周期函数的拉普拉斯变换是周期为的周期函数,即可以证明:若当在一个周期上连续或分段连续时,则有6.卷积性质卷积的概念解：根据定义，有卷积具有以下性质2.卷积定理或则有解：所以解：根据位

3、移性质，有拉普拉斯逆变换右端的积分称为拉氏反演积分.它是一个复变函数的积分,但计算比较麻烦.利用留数定理求拉氏逆变换三、Laplace变换的简单应用求解线性常微分方程的步骤：(1)对微分方程取Laplace变换转化为代数方程;(2)解代数方程得到象函数;(3)对象函数取Laplace逆变换，得象原函数，即微分方程的解。对方程两端取Laplace变换，则解:利用初始条件，得取Laplace逆变换，得为所求特解。解：代入初始条件，得：取Laplace逆变换，得例3.求解微分方程组：解：求得取Laplace逆变换，得原方程组的解为：解：所以原方

4、程为令因所以，对方程两边取Laplace变换，并由卷积定理得取Laplace逆变换，得原方程的解为：练习：本章小结