复变函数与积分变换第8章Laplace变换

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1、第8章Laplace变换Laplace变换是另一种积分变换，它在理论上及各种数学物理问题中都有重要应用.8.1Laplace变换的概念我们对某些函数φ(t)进行适当的改造使其进行Fourier变换时克服上述两个缺点.首先，根据Heaviside函数H(t)的特点，乘积φ(t)H(t)可使积分区间由(－∞,+∞)换成(0,+∞)；其次是指数衰减函数所具有的特点，一般地，乘积可使其变得绝对可积.从而，对于乘积，只要β选得适当，一般说来，这个函数的Fourier变换存在，得其中，f(t)=φ(t

2、)H(t),s=β+iω，这就导出了一种新的积分变换——Laplace变换.定义8.1如果在实变数t≥0上有定义的函数f(t)使积分在s的某一区域内收敛，则此积分所确定的函数为函数f(t)的Laplace变换（或称为像函数），记为F(s)=L［f(t)］=f(s).若F(s)是f(t)的Laplace变换，则称f(t)为F(s)的Laplace逆变换（或称为像原函数），记为f(t)=L－1［F(s)］.例8.1求单位阶跃函数的Laplace变换.解例8.2求函数f(t)=t的La

3、place变换.解例8.3求指数函数(k为实数或复数)的Laplace变换.解由Laplace变换的定义知这个积分在Res>Rek时收敛，而且有从上面例子可以看出，Laplace变换存在的条件要比Fourier变换存在的条件弱得多,下面讨论Laplace变换的存在问题.定义8.2设函数f(t)在实变数t≥0上有定义，若存在两个常数M>0及σ>0,对于一切t都有成立，即f(t)的增长速度不超过指数函数，则称f(t)为指数级函数，σ为其增长指数.定理8.1（Laplace变换存在定理

4、）若函数f(t)满足下列条件：①t≥0的任一有限区间上分段连续；②f(t)是指数级函数.则f(t)的Laplace变换在半平面Res≥σ1>σ上一定存在，在此区域上积分绝对收敛而且一致收敛，同时F(s)为解析函数.在证明过程中，要用到含参积分一致收敛的一个充分条件，先叙述如下：若存在函数φ(t)使

5、g(t,s)

6、<φ(t),而积分收敛(a,b可为无限),则积分在某一闭区域内一定是绝对收敛，并且一致收敛的.证由条件(2)知，对任意t≥0有这表明F(s)在Res>σ内是可微的，所以F(s)

7、在Res>σ内是解析的.满足Laplace变换存在定理条件的函数f(t)在t=0处为有界时，积分中的下限取0+或0－不会影响其结果.但当f(t)在t=0处包含了δ函数时就需要区分积分区间是否包含了t=0这一点，若包含了t=0这一点，常将积分下限记为0－，否则记为0+，相应的Laplace变换分别记为例8.4求δ函数δ(t)的Laplace变换.解例8.5解下面再看一些例子.例8.6求正弦函数f(t)=sinkt(k为实数)的Laplace变换.解利用Laplace变换定义，得例8.

8、7求周期性三角波从上面例子可以得到求周期函数的Laplace变换的公式：其中，f(t)是以T为周期的且在一个周期上是分段连续的周期函数.例8.8求如图8.1所示的半波正弦函数fT(t)拉氏变换.解由已知，函数在一个周期内的表达式为图8.18.2Laplace变换的性质利用Laplace变换的定义及查Laplace变换表可以求一些常见函数的Laplace变换。(1)线性性质这个性质表明函数线性组合的Laplace变换（或逆变换）等于各函数Laplace变换（或逆变换）的线性组

9、合，它的证明只须根据定义及积分的性质即可推出.(2)原函数的微分性质这个性质使f(t)的微分方程转为F(s)的代数方程，因此它对分析线性系统有着重要作用.现在利用它推算一些函数的Laplace变换.例8.9利用Laplace变换的性质求f(t)=coskt的Laplace变换。例8.10求f(t)=tm的Laplace变换：(1)m为正整数；(2)实数m>－1.(3)像函数的微分性质例8.11求函数f(t)=tekt的Laplace变换.(4)原函数的积分性质(5)像函数的积分性质

10、例8.12求函数的Laplace变换.像函数的积分性质常常用于求广义积分，因为例8.13计算积分解利用像函数的积分性质，并注意解析函数的积分与路径无关，得例8.14计算积分解由像函数的积分性质，并注意解析函数的积分与路径无关，得(6)位移性质这个性质表明了一个原函数乘以指数函数的Laplace变换等于其像函数作位移a.例8.15这个性质表明时间函数f(t)推迟τ个单位的Laplace变换等于它的像函数乘以指数因子e－sτ，这个性质在工程技术中也称为时移性.（7）延迟性质例8