2Laplace变换(2).ppt

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1、自动控制原理主讲：谢红卫国防科技大学机电工程与自动化学院2008年4月~2008年7月第二讲：数学工具----Laplace变换（2学时）１、定义与基本变换２、定理与技巧3、反变换4、求解微分方程变换是数学中经常采用的技巧，比如，在初等数学中：令：对数变换利用对数变换，我们可以将正数的乘积运算变为对数的加法运算。1、定义与基本变换又如，Fourier变换将时间域的实函数变换成频率域的频谱，即，正弦谐波的线性组合。对线性时不变系统而言，我们要寻求能简化微分方程求解过程的变换。一个好的变换至少要有如下2个特征：1、它的基本函数具有很大的覆盖面，2、变换本身具有线性叠加性。

2、1、定义与基本变换Fourier变换就具有上述特性，1、它的基本函数为谐波函数，或纯虚指数函数，它们的线性组合可以表示大部分常用的函数，2、基本函数线性组合的输入导致的响应是基本函数响应的线性组合，只是组合系数发生变化。遗憾的是，Fourier变换的收敛条件比较严格。1、定义与基本变换历史从来都是选择性记忆的，优胜劣汰，大浪淘沙。只有好的工具才会流传后世。Laplace变换就是这样的数学工具，它对Fourier变换加以扩展，以复指数函数为基本函数，将时间域的实函数变换成复频率域的频谱函数，将微分算子变成代数算子，非常方便。1、定义与基本变换复变量和复变函数(1)复变量

3、：(2)复变函数：〉F(s)是函数，其自变量为s；s为复变量〉F(s)函数值也是复的〉除此之外，在一般情况下，F(s)与实函数无异1、定义与基本变换(3)复指数函数与尤拉定理：1、定义与基本变换尤拉定理证明：有：所以：而：改写所以1、定义与基本变换函数f(t)的拉氏变换当t<0,f(t)=0拉氏积分运算符复变量单边、线性变换不追求数学细节，如收敛条件等。1、定义与基本变换一一映射由上式可以看出，Laplace变换是Fourier变换的推广，一些工程上重要的函数，如阶跃函数、指数增长函数等不满足Fourier变换的收敛条件，但乘上一个合适的指数衰减因子后，就可以完成变换

4、。当s为纯虚数时，函数的Laplace变换就是它的Fourier变换；当s为复数时，函数的Laplace变换就是它与实部指数函数乘积的Fourier变换。1、定义与基本变换基本时间函数及其Laplace变换(1)指数函数(2)阶跃函数(3)斜坡函数(4)正弦函数(5)脉冲函数1、定义与基本变换例1、指数函数注意：在某一域内复变函数F(s)及其所有导数皆存在，则称该复变函数F(s)在该域内是解析的。在复平面上有一个极点1、定义与基本变换为使积分收敛，这里假设(s+a)的实部大于零例2阶跃函数注意：A=1，称其为单位阶跃函数，记为1(t)。阶跃函数在t=0处是不确定的，相

5、当于在t=0处将一个直流信号突然加到系统上。1、定义与基本变换f(t)A0t例3斜坡函数f(t)t0A1注意：A=1，称其为单位斜坡函数。1、定义与基本变换例3斜坡函数首先注意到：于是：1、定义与基本变换123例4、正弦、余弦函数显然，直接求取并不明智。由尤拉定理有：1、定义与基本变换例5.1脉动函数f(t)0t0tA/t01、定义与基本变换例5脉冲函数f(t)0t注意：A=1，称其为单位脉冲函数，记为1、定义与基本变换和脉动函数相比，脉冲函数“面积”不变，时间间隔为0。２、定理与技巧线性叠加原理是显然的。时域位移-------复域指数乘积0atf(t)的拉氏变换时域

6、移位定理2.1时域函数平移2.2与相乘例6复域位移-------时域指数乘积复域位移定理２、定理与技巧2.3时间比例尺定理证明２、定理与技巧例7：已知于是：２、定理与技巧几个重要的拉氏变换对２、定理与技巧f(t)F(s)f(t)F(s)2.4微分定理式中f(0)是f(t)在t=0处的初始值。同样，对于f(t)的n阶导数，则有２、定理与技巧证：根据拉氏变换的定义有原函数二阶导数的拉氏变换依次类推，可以得到n阶导函数的拉氏变换注意：若时，f(t)极限不存在，也就不能用终值定理。如对正弦函数和余弦函数就不能应用终值定理。2.5终值定理假定f(t)和df(t)/dt可以进行拉

7、氏变换，存在，并且F(s)在虚轴上无极点，在原点处无多重极点，即，sF(s)在包括虚轴的右半s平面内解析，则有２、定理与技巧证：由微分定理有：等式两边对s趋向于0取极限2.6初值定理假定f(t)和df(t)/dt可以进行拉氏变换，存在，则有2.7积分定理式中在t=0处的值。证明方法同上。只是要对取极限。２、定理与技巧证：令：由上述微分定理，有即：同理，对f(t)的二重积分的拉氏变换为若原函数f(t)及其各重积分的初始值都等于0则有即原函数f(t)的n重积分的拉氏变换等于其象函数除以。2.8卷积定理（了解）将记为，称其为卷积，则有即：两个原函数的卷积的