习题答案——张量分析.pdf

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1、第一章张量代数1、用几何方法证明下列各题1)用几何方法证明矢量具有乘法交换率。uEuDABCvv图1图2证明：如图1，uvuvcos；vuvucos，故vuuvABAD或如图2，uvABAC；vuADAE，由于△ABD≌△AEC，故,从而AEACvuuv2)用定义证明ab的模表示由a，b组成的平行四边形的面积，a，b，ab的方向组成右手系。证明：（ab在张量分析中定义的不是ababsin

2、，而是定义为ababe。）ijkijk2ab2abababcos，则cos，sin1abab2222222222222Sabsinababaaabbbababab123123112233222abababababab122113313223eee123ababeaaaababeababeababeijkijk12323321

3、1331212212bbb12322abS，即：abSa,b，ab的方向组成右手系：abaaieibjejakekijlaibjelakekijlaibjal0，同理abb0，故：aba，abb，将a取为x轴，a,b在x，y轴组成的平面上，则：1eee123aae，bbebe，则ababea00abe，由于基矢量为右手系，111122ijkijk1123b

4、b012故a,b，ab的方向组成右手系3)对任意的a，abac成立，证明bc。iiiiiii证明：abac即：abababacacac，即iiii112233112233abcabcabc0，因为a任意，故111222333ibc，bc，bc，即bc112233ii4)用指标表达式的方法证明a(ab)0证明：aabaeaebeaeabeaabiijjkkiijkjkllijkjklilaab

5、aabijkjkiijkijkaaa123aaa0123bbb123~~5)设P为二阶张量，证明P为对称张量的充分必要条件是对任意的矢量a，有~~PaaP。~PaPeeaePeaPae~ijijkkijikjkijji证明：（1）必要性：P为对称张量，即PP，ijji~PaeaPeaPjijijjii~~（2）充分性：PaaP，则PaeaPe，即PaaP，PPa0，a为任ijjijjiiijjjjiijjijj~意值，故PP，即P

6、为对称张量ijji22、用哑指标的形式表示下列各式。a11a12a13b11b12b131）aaabbb212223212223aaabbb313233313233ababab1jj11jj21jj3~~解：原式=abababab，张量形式：原式=AB2jj12jj22jj3ijjkababab3jj13jj23jj3a11a12a13b11b21b312）aaabbb212223122232aaabbb313233

7、132333ababab1j1j1j2j1j3j~~T解：原式=abababab，张量形式：原式=AB2j1j2j2j2j3jijkjababab3j1j3j2j3j3j2uvweee2223）auvw，其中euvw/2xyzxyz2uieuiui2uiuiujujuj解：au，其中e。或auuiijxx2x2xxiiiii2uu张量形式：auue，其中e2u

8、vw4）uvw0txyzxyzui解：u0，张量形式：uu0itxxtii222uuuupuuu5）(uvw)222txyzxxyz222vvvvpvvv(uvw)