张量分析提纲及部分习题答案.pdf

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1、第一章矢量和张量1.1矢量及其代数运算公式（1）试给矢量下个定义；（2）（1.1.13）Schwartz不等式，即三角不等式。在某空间中，定义了距离，则两边之和大于第三边。（3）试证明（1.1.22）；并回顾矩阵理论中，如CAB，则detCdetAdetB的证明方法；1.2斜角直线坐标系的基矢量与矢量分量（4）矢量的数学表示方法：基矢量及分量；为使用方便，如算内积，引入对偶的逆变基矢量及相应分量。1ij（5）gg（1.2.23b）；指标升降关系（1.2.29）。ij1.3曲线坐标系（6）自然基矢量（1.3.8），一般称协变基。（7）（1.2.

2、11）；逆变基矢量是坐标面的梯度。（8）坐标x一般是不存在的。iIrIxxxxIg1i2xjIx例：1，则32，，II23yxIIxIr2xyxgj3xII2IIx22IIIIIIIIIIIIIdxIgdx11gdx1214xdx6xxdxPdx1Qdx1。24dxgdxIgdxII69xIxIIdxIxIIdxIIPdxIQdxIIII212222PQii当时，坐标xx,才可能存在。即向量场PQ,无旋时，其在两点间II

3、IIIIxxPQii的路径积分与路径无关，积出的值就是坐标。本例中，，故相应的“协IIIxx变坐标”不存在。（正因为如此，坐标也没有逆变、协变之说。）（9）有点类似曲面第一基本型（1.3.12）。（10）Lame常数定义（1.3.13）在非正交系中也成立，但此时（1.3.12a）不成立。1.4坐标转换1（11）基的变换，也就是坐标变换（顺便说明一下什么是矢量）：iiiiiiiuugiuigiugi，即uui。我们说，基变换时，分量满足相应iiiiiuui关系的量是矢量。有了i后，可以引入i，表示对应的逆变换，且有ii

4、ii1jijxix（12）与坐标相对应的基变换：ii，jjxx（13）举例说明用矢量表示应力，是怎样的力不从心；并说明一下“连续介质”中“连续”的问题。1.5并矢与并矢式（14）并矢就是一个二阶张量；但张量不总能表示成一个并矢，而总是一个并矢式。（15）并矢的相等。若abcd，则a与c线性相关，b与d线性相关。（16）回到（13），连续介质中一点的应力状态ζkk，对任给的有向截面n，有ζnkkn；1.6张量的基本概念（17）是定义在“坐标变换”上的。（18）张量的表示方法。ij（19）证明度量张量是张量：这个东西的定义

5、是ggg，其中ggg；在另一组基下，ijijijijijij这个东西是gijgg。我们要证明ggijggijgg。ijiijjiijjijijijijgijgggijigjgggijigjgigijgggjggijgggijgg（20）应力是一个张量，并且是对称张量，其内涵是？。ij说明一下应力是张量，一点的应力状态表示成gg，则在任一给定的面n上，受ij2ijxxxy力是ggn；二维情况下，应力记为iijiijjjijxxxyyxy

6、yyxyy我们考察上图中各面（用外法线的单位矢量表示相应的面）的受力情况：ij对i面，单位面积上受力ggniijiijjjiijijxxxyyxyyxxxyij对j面，单位面积上受力ggniijiijjjjijijxxxyyxyyyxyy考察斜边上的面元（nsinicosjnnij）受力，xyζndlxxixyjdyyxiyyjdxmaOdxdya0，所以，dydxζnxxijxyiyxjyyixxj

7、sinxyiyxjcosyydldlxxixyjnxiyxjyynyiixxjixynixijyxjjnjyyyxxiixyjiijyxjjyynnixjyζn对静止的连续介质，有ζnfd0，ζdfd0，Aζf0。（21）证明应力是一个张量；记：表示在给定基g下，在面g上，单位面积受力F在g方向上的分量为ijijji1ij1