张量分析答案完整版.pdf

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1、黄克智版张量分析课后习题答案完整版第一章1.1求证：u×(vw×)=(uwv•)−(uvw•)并问：u×(v×w)与（u×v）×w是否相等？u、v、w为矢量证明：因为u=(,uuu,);v=(,vvv,);w=(www,,);xyzxyzxyz左边=u×(vw×)=(,uuu,)×[(,vvv,)×(www,,)]xyzxyzxyz⎡ijk⎤⎢⎥=(,uuu,)×vvvxyz⎢xyz⎥⎢www⎥⎣xyz⎦=(,uuuxy,z)×[(vwyz−wvyz),(wvxz−vwxz),(vwxy−wvxy)]=[uvw(−wv)−uwv(

2、−vw),uvw(−wv)−uuw(−wv),yxyxyzxzxzzyzyzxxyxyuwv(−vw)−uvw(−wv)]xxzxzyyzyz右边=(uwv•)−(uvw•)=(uw+uw+uw)v-(uw+uw+uw)wxxyyzzxxyyzz=(uw+uw+uw)(,vvv,)-(uw+uw+uw)(www,,)xxyyzzxyzxxyyzzxyz=[uvw(−wv)−uwv(−vw),uvw(−wv)−uuw(−wv),yxyxyzxzxzzyzyzxxyxyuwv(−vw)−uvw(−wv)]xxzxzyyzyz所以：u×

3、(vw×)(=uwv•)−(uvw•)同理可证：(uv×)×w=(uwv•)−(vwu•)所以u×(v×w)≠（u×v）×wi1.11根据上题结果验算公式：g=ggjji111由上题结果：g=2,g=(−++ijk),g=(i−+jk),g=(i+−jk)123222⎧2当r=sg=⎨rs⎩1当r≠s123123gg+gg+gg=2g+g+g111213211=(-i+j+k)+(i-j+k)+(i+j-k)222=j+k=g1123及：g=gg+gg+gg1111213123123同理;gg+gg+gg=g+2g+g212223

4、121=(-i+j+k)+(i-j+k)+(i+j-k)222=i+k=g2123及：g=gg+gg+gg2212223123123gg+gg+gg=g+g+2g313233112=(-i+j+k)+(i-j+k)+(i+j-k)222=i+j=g3123及：g=gg+gg+gg3313233i及验证：g=gg正确jji1.21试证明若一张量的所有分量在某一坐标系中为零，则它们在任何其他坐标系中亦必为零。证明：不妨取三界张量根据P24页所讲的分量表示法和坐标转换关系知识T=Tijkggg=Tgigjgk=Tijgggk=Tiggj

5、gk=……ijkijk..kij.jki其分量为：TijkTijiijkT..kT.jk……他们满足坐标转变关系，先将ijk用rst表示，我们可以得到''''''ijkijkrstT=βββTrstrstTijk'''=βββi'j'k'Trst''''ijijtrsT..k'=βββrsk'T..t''iistrT.jk''=βββrj'k'T.st......'''(,,ijk=1,2,3)rstrsr∵TTTT......都为零rst..t.st∴等式左边在新坐标系下的张量分量都为零''''''ijkiji即TTTT''''

6、''......全为零ijk..k.jkn阶张量同理可证∴当一张量在一个坐标系中所有分量都为零时，则他们在任何坐标系中亦必为零1.31已知：v为一矢量的协变分量。k（根据P31页所讲的张量的对称与反对称知识来证明这个题目。重点T=−T）(.)nm(.)mn∂νm∂νn求证：−为一反对称二阶张量的协变分量。∂xn∂xm证明：∂νm∂νn令T=−(m.n)nm∂x∂xmm∂x则由vm'=βm'vm=m'vm∂x∂vmnmm'∂x∂vm∂x∂x可知:=+'m'nn'm'n'vm∂xn∂x∂x∂x∂x∂x∂vnmnn'∂x∂vn∂x∂x同

7、理可得：=+'n'mm'm'n'vn∂xm∂x∂x∂x∂x∂x∂v'∂v'∂xm∂v∂xn∂xm∂xn∂v∂xm∂xn则mnmnT(m'.n')=n'−m'=m'nn'+m'n'vm−n'mm'−m'n'vn∂x∂x∂x∂x∂x∂x∂x∂x∂x∂x∂x∂xmn∂x∂x由于：=m'n'vmm'n'vn∂x∂x∂x∂x∂v'∂v'∂xm∂xn∂v∂v所以mn(mn)T(m'.n')=n'−m'=m'n'n−m∂x∂x∂x∂x∂x∂xm'n'∂vm∂vnm'n'即T(m'.n')=βm'βn'(n−m)=βm'βn'T(m.n)∂x∂x

8、∂νm∂νn所以的证：T=−为二阶张量的协变分量。(m.n)nm∂x∂x当m=n时恒有T=0(m.n)∂νm∂νn又有T=−+=−T(.)nmnm(.)mn∂x∂x∂νm∂νn综上可知：−为一反对称二阶张量的协变分量∂xn∂xm1.41质量为m、绕