张量分析.pdf

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1、张量分析张量分析引论…………………………………………………………………211A.1矢量和张量的记法，求和约定…………………………………………211A.2符号δij与erst……………………………………………………………214A.3坐标与坐标转换……………………………………………………………218A.4张量的分量转换规律，张量方程…………………………………………221A.5张量代数，商判则…………………………………………………………223A.6常用特殊张量，主方向与主值…………………………………………226

2、A.7张量的微分和积分，场论基础……………………………………………230A.8正交曲线坐标系……………………………………………………………236习题………………………………………………………………………245内容梗概【坐标变换揭示各类量的性质、张量方程的特点等】求和约定:自由标:符号δij符号erst多项简写多个方程简写哑标⇒自由标⇒换标符δij⇒排列符erst张量分析引论张量分析以简洁的表达形式和清晰的推导过程描述复杂问题，被近代力学文献和教科书普遍采用。本附录着重介绍笛卡儿坐标系和正交曲线坐标系中的张

3、量。张量分析的一般理论可参考有关书籍。§A.1矢量和张量的记法，求和约定◈力学中常用的物理量分成三类：❶标量——只有大小没有方向性的物理量：温度T、密度ρ、时间t等。❷矢量——既有大小又有方向性的物理量：矢径r、位移u、速度v、力F等。❸张量——具有多重方向性的物理量：应力张量σ、应变张量ε等（常用黑体表示）◈矢(张)量的三种记法：位移u为例——(1)实体记法：u三3种(2)分解式记法：u＝u1e1+u2e2+u3e3=uiei分量和基矢量记i1法(3)分量记法：ui(i＝1，2，3)的集合【文献之二

4、：轮胎大变形分析】【文献之一：压电材料平面问题】张量应用举例张量是具有多个分量的复杂物理量，为表达简洁，需引入一些记号和约定指标符号指标符号：对于一组性质相关的n个量用相同的字母加不同的指标符号来表示举例——◈a的n个分量al，a2，…，an(比如n维空间中的加速度)可缩写成ai(i＝1，2，…，n)⇒i＝1，2,…n;为指标的取值范围；n是空间维数◈其它例子：记x,y,z为x1,x2,x3,→xi,；各轴的基矢为e1,e2,e3,→ei,矢量v的分量记为v1,v2,v3,→vi,应力分量σ→σij.3W

5、=f·s=f1s1+f2s2+f3s3=∑fisii=1本书约定：若不标明取值范围拉丁指标i，j,k，…∈3D（取值1，2，3）希腊指标α，β，…∈2D（取值1，2）代数方程组求解、坐标变换，及一点处的应力、应变等，都含有大量的分量；利用指标符号可以大大地简化表达式。例如线性变换的表达式为：一、求和约定、哑标！爱因斯坦(A．Einstein)求和约定：如果在表达式的某项中，某指标重复地出现两次，则该项在该指标的取值范围内遍历求和。该重复指标称为哑指标，简称哑标（如j）。利用哑标代替求和号∑，(A．4)式简

6、化成通过哑指标可把许多项缩写成一项二、自由标二、自由标【利用自由标方程组可进一步缩写成】(A．5)自由指标：在表达式或方程中的不同项内重复出现的同名指标自由指标只表示对取值范围轮流取值，无论其取何字母，关系式始终成立；因此(A．5)式通过换标，可写成：（只要k和i的取值范围相同）通过自由指标又把许多方程缩写成一个方程换自由指标时应注意——(1)同时取值的指标必须同名，独立取值的指标应防止重名例：c=a+b=(a1+b1)e1+(a2+b2)e2+(a3+b3)e3⇒ci=ai+bi其中c=c1e1+c2e

7、2+c3e3(2)自由指标必须整体换名方程或表达式中出现的同名自由指标需全部改成同一个新名字;而哑指标可以成对地局部换名例：三、其他应用举例【指标符号的正确用法】❶指标符号也适用于微分表达式。例如，三维空间中线元长度ds和其分量dxi之间的关系❷同一项中出现两对（或几对）的不同哑标，表示重复求和。(共九项求和)❸若对在同项内出现两次以上的指标进行遍历求和，一般应加求和号，或者，在多余指标下加一横，表示该指标不计指标数。如：❹当自由指标在同项内出现两次时，应申明该指标不求和。或者，在其中一个指标下加一横，表

8、示该指标不求和。例如：s＝aii原表示s＝a11+a22+a33,但❺一般地说，不能由等式(A．12)(A．13)“两边消去ai1≠如果ai任意取值(A．12)式均成立，则可取(a1，a2，a3)=(1，0，0)⇒a1＝c1同理，若取(a1，a2，a3)=(0，1，0)⇒a2＝c2(a1，a2，a3)=(0，0，1)⇒a3＝c3所以(A．13)式成立的前提是“ai任意”而不是简单地“消去ai”∑：通过哑指标可把许多项缩写成一项