2008级微积分A第一学期期中测试题.pdf

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1、课程编号：A071000150北京理工大学2008-2009学年第一学期2008级《微积分A》期中试卷班级学号姓名成绩一、填空（每小题3分，共30分）xsinx−e+11．极限lim=.x→021−1−x212．设y=arcsinx+f(arctan)，f为可微函数，则dy=.x⎧2⎪x≤13．设函数f(x)=⎨1+x2在点x=1处可导，则a=,b=.⎪⎩ax+bx>14．设函数f(x)在[a,b]上二阶可导，且f′′(x)>0，则f(b)−f(a),(b−a)f′(a),(b−a)f′(b)按由大到小的排列次

2、序是：.2⎧x=1+t5．曲线⎨在t=2处的法线方程为.3⎩y=tnnn6．求数列极限lim2(5−)6=.n→∞2007．设f(x)=(x−)1g(x)，其中g(x)在x=1处连续，且g)1(=,5则f′)1(=.228．x→0时，1−2x=1+ax+bx+o(x)，则a=，b=.2x−9．函数f(x)=xe2的带皮亚诺余项的五阶麦克劳林公式为.1(n)10．设y=,则y=2x+5x−6.2xy3dydy二、（10分）设y=y(x)由方程e+y−5x=0所确定，求,.2dxdxx=0(2x−)1三、（10分）

3、证明不等式：当x>1时，lnx>.x+1第1页2x−1四、（10分）利用导数研究函数f(x)=的性态，并画出其图形.2(x−)11⎧−2exx<0⎪⎪五、（10分）设函数f(x)=⎨0x=0，⎪31xsinx>0⎪x⎩（1）求f′(x;)（2）讨论f′(x)的连续性.六、（10分）设曲线y=f(x)与y=g(x)在(x,y)处相切，且在这一点曲线y=f(x)00的曲率k比y=g(x)的曲率k大，f′′(x)>,0g′′(x)>0.问在(x,y)附近，120000y=f(x)是在y=g(x)的上方还是下方？并说明

4、理由.七、（10分）在坐标平面上通过点)3,2(引一条直线，要使它在两坐标轴上的截距均为正，且两截距之和为最小，求此直线的方程.八、（10分）设f(x)在,0[π]上连续，在,0(π)内可导，且f)0(=0，求证：ξ至少存在ξ∈,0(π),使得2f′(ξ)=tanf(ξ).2第2页